Теорія множин Цермело — Френкеля

Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.

${\displaystyle \forall A,\forall B:\;A=B\iff (\forall C:C\in A\iff C\in B)}$

Існує множина без елементів.

${\displaystyle \exists A:\forall B\ \lnot (B\in A)}$

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.

Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.

${\displaystyle \forall A,\forall B,\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)}$

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).

Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff (\forall D:D\in C\Rightarrow D\in A).}$

Якщо ввести відношення підмножини ${\displaystyle \subseteq }$, то формулу можна спростити:

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\subseteq A.}$

Множину B називають булеаном множини A та позначають ${\displaystyle {{\mathcal {P}}(A)}}$.

Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff (\exists D:C\in D\land D\in A)}$

З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.

Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.

${\displaystyle \exists A:\varnothing \in A\land (\forall B:B\in A\Rightarrow B\cup \{B\}\in A)}$

Для того, щоби пояснити цю аксіому, визначимо елемент B ∪ {B} як наступний елемент B (аксіома пари дозволяє нам сформувати синглетон {B}, а аксіома об'єднання дозволяє провести операцію ∪). Наступний елемент використовується, зокрема, для побудови теорії натуральних чисел за допомогою множин. В такій побудові нулю відповідає порожня множина (0 = {}), одиниця - наступний елемент за 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {{}} = {{}} = {0}.

Аналогічно, 2 - наступний елемент за 1.

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {{},{{}}} = {0,1}, і т.д.

Тобто, в такій побудові кожне натуральне число дорівнює множині всіх попередніх натуральних чисел. Без цієї аксіоми така побудова була б неможливою.

Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\in A\land P(C)}$

Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.

${\displaystyle (\forall x,\exists$ !\,y:P(x,y))\rightarrow \forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x\in A:P(x,y)}

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.

${\displaystyle \forall A(\exists B(B\in A)\rightarrow \exists B(B\in A\land \lnot \exists C(C\in A\land C\in B))).}$

Якщо ввести операцію перетину множин ${\displaystyle \cap \!}$, то формулу можна спростити:

${\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing ))}$

Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.