Коядро (теорія категорій)

В теорії категорій коядро — поняття, двоїсте до ядра. Ядро є підоб'єктом прообразу, а коядро — фактороб'єктом образу.

Означення

Нехай C — категорія з нульовими морфізмами. Тоді коядро морфізма f : XY — морфізм q : YQ, такий що:

  • qof — нульовий морфізм із X у Q;
  • Для будь-якого морфізма , такого що — нульовий морфізм, існує єдиний морфізм , такий що наступна діаграма є комутативною:

Як і інші універсальні конструкції, коядро існує не завжди, але якщо існує, то воно є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Коядро завжди є епіморфізмом. Навпаки, епіморфізм називається нормальним (іноді — конормальним), якщо він є коядром деякого морфізма. Категорія називається конормальною, якщо будь-який епіморфізм в ній є нормальним.

Приклади

В категорії груп, коядро гомоморфізму груп f : GH є факторгрупою H по нормальному замиканню образу f. У випадку абелевих груп, оскільки кожна підгрупа є нормальною, coker(f) = H/im(f).

В абелевій категорії образ і кообраз морфізма задаються як

.

Зокрема, будь-який епіморфізм є своїм власним коядром.

Література

  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1998, p. 64
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.