Раціональне число

Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини класів еквівалентності пар ${\displaystyle \left\{(m,\;n)\mid m\in \mathbb {Z} ,\;n\in \mathbb {N} \right\}}$ за відношенням еквівалентності

${\displaystyle (m,\;n)\sim (m',\;n')\iff m\cdot n'=m'\cdot n.}$

При цьому операції додавання й множення визначаються так:

• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2},\;n_{1}\cdot n_{2}\right).}$

Правильним зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься неправильним.

Наприклад, дроби ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$, ${\displaystyle -{\frac {7}{8}}}$ та ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ є правильними, а ${\displaystyle -{\frac {8}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$ та ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ є неправильними.

Будь-яке ціле число (крім нуля) можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Число 0 є правильним дробом ${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$.

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься мішаним дробом й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$.

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.[1]

1. Впорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох відношень: «${\displaystyle <}$», «${\displaystyle >}$» або «${\displaystyle =}$». Це правило зветься правилом впорядкування і формулюється так: два невід'ємні числа ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}}$ та ${\displaystyle b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}}$ зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа ${\displaystyle m_{a}\cdot n_{b}}$ та ${\displaystyle m_{b}\cdot n_{a}}$; два недодатні числа ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа ${\displaystyle \left|b\right|}$ и ${\displaystyle \left|a\right|}$; якщо ж ${\displaystyle a}$ невід'ємне, а ${\displaystyle b}$ — від'ємне, то ${\displaystyle a>b}$.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\left(a<b\lor a>b\lor a=b\right)}$

   

   Додавання дробів

2. Операція додавання. Для будь-яких раціональних чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ існує правило додавання, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число ${\displaystyle c}$. При цьому число ${\displaystyle c}$ зветься сумою чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ й позначається ${\displaystyle \left(a+b\right)}$, а процес знаходження такого числа зветься додаванням. Правило додавання має такий вигляд: ${\displaystyle {\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\exists \left(a+b\right)\in \mathbb {Q} }$

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ існує правило множення, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число ${\displaystyle c}$. При цьому число ${\displaystyle c}$ зветься добутком чисел ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ й позначається ${\displaystyle \left(a\cdot b\right)}$, а процес знаходження такого числа зветься множенням. Правило множення має такий вигляд: ${\displaystyle {\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~\exists \left(a\cdot b\right)\in \mathbb {Q} }$

4. Транзитивність відношення порядку. Для будь-якої трійки раціональних чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ якщо ${\displaystyle a}$ менше ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle b}$ менше ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ менше ${\displaystyle c}$, а якщо ${\displaystyle a}$ дорівнює ${\displaystyle b}$ й ${\displaystyle b}$ дорівнює ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ дорівнює ${\displaystyle c}$.

   ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~\left(a<b\land b<c\Rightarrow a<c\right)\land \left(a=b\land b=c\Rightarrow a=c\right)}$

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a+b=b+a}$

6. Асоціативність додавання. Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.

   ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}$

7. Існування нуля. Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.

   ${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {Q} ~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a}$

8. Існування протилежних чисел. Будь-яке раціональне число має відповідне протилежне раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.

   ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists \left(-a\right)\in \mathbb {Q} ~~a+\left(-a\right)=0}$

9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a\cdot b=b\cdot a}$

10. Асоціативність множення. Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)}$

11. Існування одиниці. Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.

    ${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {Q} ~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a}$

12. Існування обернених чисел. Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне обернене раціональне число, множення на яке дає 1.

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q} ~~a\cdot a^{-1}=1}$

13. Дистрибутивність множення відносно додавання. Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

14. Зв'язок відношення порядку з операцією додавання. До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Rightarrow a+c<b+c}$

15. Зв'язок відношення порядку з операцією множення. Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатне раціональне число.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~c>0\land a<b\Rightarrow a\cdot c<b\cdot c}$

16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число ${\displaystyle a}$, можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за ${\displaystyle a}$.

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N} ~~\sum _{k=1}^{n}1>a}$

Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

• Друге відношення порядку «>» також транзитивне.

  ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a>b\land b>c\Rightarrow a>c}$

• Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.

  ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 0=0}$

• Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.

  ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b\land c>d\Rightarrow a+c>b+d}$

• Множина раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є полем відносно операцій додавання та множення дробів.

  ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+,\cdot \right)}$ — поле

• Кожне раціональне число є алгебраїчним.

  ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} }$

Підпростір ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$ має такі властивості:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є F_σ-множиною, але не є G_δ-множиною в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Евклідова метрика перетворює ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на метричний простір, який є цілком нормальним та паракомпактним.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, як зліченне об'єднання одноточкових множин, є простором першої категорії.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ сепарабельний.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ задовольняє другу аксіому зліченості.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не локально компактний і не σ-локально компактний.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ σ-компактний.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ цілком відокремлений.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ щільний у собі і не розсіяний.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ нульвимірний.
• Перетин ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ цілком обмежений, але не компактний.