Простий ідеал

Ідеал ${\displaystyle \ P}$ кільця ${\displaystyle \ R}$ називається простим, якщо ${\displaystyle P\subsetneq R}$ і якщо з того, що добуток ${\displaystyle \ AB}$ двох ідеалів ${\displaystyle A,B\subset R}$ міститься в ${\displaystyle \ P}$, то принаймні один з ідеалів ${\displaystyle \ A}$ або ${\displaystyle \ B}$ міститься в ${\displaystyle \ P}$.

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:

• якщо ${\displaystyle a,b\in R}$ такі, що для всіх ${\displaystyle r\in R}$, їх добуток ${\displaystyle arb\,}$ належить ${\displaystyle P\,}$, тоді ${\displaystyle a\in P}$ або ${\displaystyle b\in P}$.
• ${\displaystyle P\,}$ не рівне кільцю ${\displaystyle R\,}$.

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів ${\displaystyle a,b\in A}$ з того, що ${\displaystyle ab\in {\mathfrak {a}}}$, випливає що ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ або ${\displaystyle b\in {\mathfrak {a}}}$. Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

• Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
• Ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
  • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
• Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці ${\displaystyle A}$ з одиницею заданий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, що не перетинається з мультиплікативною системою ${\displaystyle S_{0}}$. Тоді існує простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і не перетинається з системою ${\displaystyle S_{0}}$.
  • Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і не перетинаються з системою ${\displaystyle S_{0}}$ є непорожньою (вона містить ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
• Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, збігається з радикалом ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ (тобто множиною ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}}$)
  • Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Якщо елемент f належить радикалу ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$, значить деякий його степінь належить ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$, відповідно f не може належати доповненню до ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.
    Навпаки: нехай f не належить радикалу ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}$. Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

• Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y² − X³ − X − 1 є простим.
• У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ максимальний ідеал кільця ${\displaystyle R}$ і припустимо ${\displaystyle R}$ має ідеали ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$, але ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\nsubseteq {\mathfrak {m}}}$. Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ є максимальним, маємо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}=R}$. Тоді,

${\displaystyle {\mathfrak {b}}=R{\mathfrak {b}}=({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}){\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}.}$

Тому ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$ або ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}}$, тобто ідеал є простим.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.