Факторіальне кільце

• Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце, є факторіальним кільцем. Зокрема, таким прикладом є кільце цілих чисел.
• Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
• Формальні степеневі ряди ${\displaystyle K[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$ над полем ${\displaystyle K}$ утворюють факторіальне кільце.
• Кільце ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ всіх комплексних чисел виду ${\displaystyle a+ib{\sqrt {5}}}$, де a і b — цілі числа, не є факторіальним. Наприклад ${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+i{\sqrt {5}}\right)\left(1-i{\sqrt {5}}\right)}$. Числа 2, 3, ${\displaystyle 1+i{\sqrt {5}}}$, і ${\displaystyle 1-i{\sqrt {5}}}$ не є асоційовані і є незвідними.
• Згідно теореми Аусландера — Бухсбаума, кожне регулярне локальне кільце є факторіальним.

• Довільний незвідний елемент факторіального кільця, є простим.

Нехай ${\displaystyle p}$ — незвідний елемент факторіального кільця ${\displaystyle D}$. Тоді ${\displaystyle p}$ є необоротним. Якщо ${\displaystyle ab\in (p)\smallsetminus \{0\}}$, тоді ${\displaystyle ab=cp,}$ де ${\displaystyle c\in D}$. Елементи ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ можна записати як добутки незвідних елементів:

${\displaystyle \displaystyle a\;=\;p_{1}\cdots p_{l},\quad b\;=\;q_{1}\cdots q_{m},\quad c\;=\;r_{1}\cdots r_{n}.}$

Тоді ${\displaystyle \displaystyle p_{1}\cdots p_{l}\,q_{1}\cdots q_{m}\;=\;r_{1}\cdots r_{n}\,p.}$

Оскільки ${\displaystyle D}$ є факторіальним кільцем то кожен елемент у добутку справа є рівним добутку одного із ${\displaystyle l+m}$ незвідних елементів з лівої сторони, тобто ${\displaystyle p_{i}}$ або ${\displaystyle q_{j}}$ і оборотного елемента. Відповідно або ${\displaystyle a\in (p)}$ або ${\displaystyle b\in (p)}$. Тобто ${\displaystyle (p)}$ є простим ідеалом ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle p}$ є простим елементом.

• Якщо R є факторіальним кільцем, то і кільце многочленів R[x] є факторіальним. Звідси випливає, що і кільце R[x₁...x_n] є факторіальним.
• Кільце R є факторіальним тоді і тільки тоді коли довільний його простий ідеал містить простий елемент.
• Якщо у області цілісності ${\displaystyle D}$ існує множина простих елементів ${\displaystyle a_{i},\ i\in E,}$ таких, що кожен елемент із ${\displaystyle D}$ є добутком деяких елементів ${\displaystyle a_{i}}$ і оборотного елемента, то ${\displaystyle D}$ є факторіальним кільцем.

Оскільки ${\displaystyle D}$ є областю цілісності, то всі ${\displaystyle a_{i}}$ є незвідними елементами і кожен незвідний елемент із ${\displaystyle D}$ є добутком якогось одного елемента ${\displaystyle a_{i}}$ і оборотного елемента. З умови кожен елемент ${\displaystyle D}$ є добутком незвідних елементів. Якщо ${\displaystyle p_{1}\ldots p_{n}=q_{1}\ldots q_{m},}$ то кожен з ${\displaystyle p_{j}}$ є добутком якогось із ${\displaystyle a_{i}}$ і оборотного елемента. Оскільки ${\displaystyle a_{i}}$ є простим елементом, що ділить добуток, то ${\displaystyle a_{i}}$ ділить якийсь із ${\displaystyle q_{k}.}$ Але ${\displaystyle q_{k}=a_{m}u,}$ де ${\displaystyle u}$ — оборотний елемент. Тому ${\displaystyle a_{i}}$ ділить ${\displaystyle a_{m}.}$ Також ${\displaystyle a_{m}u=q_{k}=a_{i}c,}$ і тому також ${\displaystyle a_{m}}$ ділить ${\displaystyle a_{i}}$ (${\displaystyle a_{m}}$ є простим і має ділити ${\displaystyle a_{i}}$ або ${\displaystyle c}$, в останньому випадку ${\displaystyle a_{i}}$ був би оборотним, що неможливо). Тому ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle a_{m}}$, а тому ${\displaystyle p_{j}}$ і ${\displaystyle q_{k}}$ відрізняються лише добутком на оборотний елемент. Скорочуючи і продовжуючи процес отримуємо, що ${\displaystyle D}$ є факторіальним кільцем.

• Локалізація факторіального кільця по довільній мультиплікативній системі є факторіальним кільцем.

Нехай ${\displaystyle a\in D}$ — незвідний елемент факторіального кільця. Якщо ${\displaystyle aD\cap S=\emptyset ,}$ то ${\displaystyle aS^{-1}D}$ є простим ідеалом у ${\displaystyle S^{-1}D,}$ а тому ${\displaystyle a/1\in S^{-1}D}$ є простим елементом. Із попереднього достатньо довести, що кожен ненульовий елемент ${\displaystyle S^{-1}D,}$ є добутком таких елементів і оборотного елемента.

Спершу зауважимо, що якщо ${\displaystyle aD\cap S\neq \emptyset ,}$ то ${\displaystyle a/1\in S^{-1}D}$ є оборотним елементом. Якщо ${\displaystyle ad=t\in S,}$ то оберненим елементом буде ${\displaystyle d/t.}$

Нехай ${\displaystyle b/s\in S^{-1}D.}$ Якщо ${\displaystyle b=a_{1}\ldots a_{n}}$ є розкладом b у добуток незвідних елементів, то ${\displaystyle b/1=a_{1}/1\ldots a_{n}/1}$ є розкладом b/1 у добуток незвідних і оборотних елементів.

Тоді ${\displaystyle b/s=a_{1}/1\ldots a_{n}/1\cdot 1/s}$ дає необхідний результат оскільки 1/s є оборотним елементом.

• Теорема Нагати. Нехай ${\displaystyle D}$ є областю цілісності, ${\displaystyle a_{i},\ i\in E}$ — деяка множина простих елементів і S — мультиплікативна множина елементами якої є скінченні добутки скінченних кількостей елементів ${\displaystyle a_{i}}$(добуток пустої множини вважається рівним 1). Нехай ${\displaystyle a_{i}}$ задовольняють умову: для кожного елемента ${\displaystyle b\in D}$ існують ${\displaystyle s\in S,b'\in D}$ для яких b = sb' і b' не належить жодному із головних ідеалів ${\displaystyle (a_{i}).}$ Тоді якщо локалізація ${\displaystyle S^{-1}D}$ то і ${\displaystyle D}$ є факторіальним кільцем. Вказана умова, зокрема, виконується для всіх нетерових кілець або кілець всі ненульові елементи яких є добутками незвідних елементів.

Хоч термін «Факторіальне кільце» використовується переважно для комутативних кілець, подане вище означення можна узагальнити для некомутативного випадку.

Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця ${\displaystyle R/p_{i}R}$ і ${\displaystyle R/q_{i}R}$ є ізоморфними[1].

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Бондаренко Є.В. (2012). Теорiя кiлець: навчальний посiбник.. Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
• Peskine, Christian (2009). An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry: Commutative Algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521108478.
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• R. Sivaramakrishnan (2006). Certain number-theoretic episodes in algebra. CRC Press. ISBN 0-8247-5895-1