Ланцюгова гомотопія

Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.

Означення

Нехай і ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів і модульних гомоморфізмів ), і — ланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності

Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів і Якщо і  — коланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності

Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:

Властивості

  • Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між і , що доводить симетричність відношення. Якщо є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , а є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між відображеннями і Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення позначають , еквівалентність відображеннь і позначається як
  • Якщо , і ланцюгові комплекси і — ланцюгові відображення, такі що то також Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії Якщо для ланцюгового відображення існує таке відображення що і то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.
  • Якщо відображення і є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах є рівними (де ). Справді, нехай — цикл, тобто елемент з . Тоді . Так як і є ланцюгово гомотопними, то
    ,
Тобто відрізняються на границю (елемент ).
  • Для більшості теорій гомологій гомотопні неперервні відображення топологічних просторів індукують ланцюгово гомотопні відображення комплексів і, по доведеному, однакові відображення груп гомологій (виконується аксіома гомотопічної інваріантності).

Див. також

Література

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 (рос.)
  • Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 (рос.)
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 (рос.)
  • Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 (рос.)
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971 (рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.