Лема Віталі про покриття
Лема Віталі про покриттях — твердження у комбінаторній геометрії, що широко використовується в теорії міри.
Лема використовується в доведенні теореми Віталі про покриття, але також має самостійний інтерес. Названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі.
Формулювання
Скінченна версія
Нехай — скінченна множина куль, що містяться в d-вимірному евклідовому просторі Rd (або, в більш загальному випадку, в довільному метричному просторі). Тоді існує підмножина з цих куль, в якій кулі попарно не перетинаються, і виконується
де позначає кулю з тим же центром, що і у , але з втричі більшим радіусом радіусом.
Доведення
Припустимо, що множина куль є непорожньою, тобто n > 0. Нехай буде кулею із найбільшим радіусом. За індукцією, нехай обрано кулі Якщо існують кулі із які не перетинаються із жодною із , то виберемо як таку кулю із найбільшим можливим радіусом. Якщо таких куль немає, то приймаємо m := k і завершуємо процес.
Позначимо і доведемо, що для всіх . Це твердження є очевидним для . В іншому випадку існує деяке для якого Bi перетинає і радіус кулі є не меншим, ніж Bi. З нерівності трикутника тоді випливає, що , що завершує доведення.
Нескінченна версія
Нехай — довільна (зліченна або незліченна) множина куль в Rd (або, більш загально, в сепарабельному метричному просторі), для якої
де позначає радіус кулі Bj. Тоді для будь-якого існує зліченна підмножина
куль, що попарно не перетинаються і
Доведення
Нехай F позначає сім'ю всіх куль Bj, j ∈ J у твердженні леми про покриття. Нехай необхідна підсім'я G у F позначається також за допомогою
Доведемо більш точне твердження леми. Нехай F є сім'єю невироджених куль у метричному просторі з обмеженим радіусом. Тоді існує підсім'я G така, що кожна куля B у F має непустий перетин із деякою кулею C у G для якої B ⊂ 5 C. Для сепарабельних метричних просторів (наприклад евклідових просторів) до того ж G є не більш, ніж зліченною.
Нехай R є супремумом радіусів куль із F. Розглянемо розбиття F на Fn, n ≥ 0, що складаються із куль B радіуси яких належать проміжку (2−n−1R, 2−nR]. Можна розглянути послідовність сімей куль Gn, де Gn ⊂ Fn. Спершу позначимо H0 = F0 і G0 деяку максимальну сім'ю куль із H0, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору очевидно, що G0 є не більш, ніж зліченною . Припускаючи, що G0,...,Gn вже визначені, нехай
і нехай Gn+1 є максимальною сім'єю куль із Hn+1, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору Gn+1 є не більш, ніж зліченною. Тоді підсім'я
із F задовольняє вказане точне твердження леми: G є сім'єю куль, що попарно не перетинаються і кожна куля B ∈ F перетинає кулю C ∈ G для якої B ⊂ 5 C. Справді, нехай B належить Fn. Тоді або B не належить Hn, звідки n > 0 і B має непустий перетин із G0,...,Gn−1 або B ∈ Hn і з максимальності Gn випливає, що B має непустий перетин із деякою кулею із Gn. У будь-якому випадку B має непустий перетин із кулею C, що належить об'єднанню G0,...,Gn. Радіус кулі C є більшим 2−n−1R, а радіус B не більшим 2−nR, а тому B ⊂ 5 C випливає з нерівності трикутника. Для сепарабельного метричного простору G є зліченною множиною, як зліченне об'єднання зліченних множин.
Зауваження
- У доведенні нескінченної версії у означенні Fn замість 2−n можна використати c−n, c > 1. Тоді замість 5 можна використати константу 1 + 2c. Тобто у твердженні леми про покриття можна замість 5 взяти довільну константу більшу 3.
- У нескінченній версії лема перестає бути вірною, якщо радіуси не є обмеженими: наприклад, це невірно для нескінченної множини куль з цілими додатними радіусами і єдиним центром.
- У найзагальнішому випадку, для довільного метричного простору, вибір максимальної підмножини куль вимагає деякої форми леми Цорна.
Наслідки
- У будь-якому скінченному наборі куль -вимірного евклідового простору, об'єднання яких має об'єм , можна вибрати підмножину куль, що не перетинаються між собою із загальним об'ємом не меншим .
- Коефіцієнт не є оптимальним і оптимальне значення не є відомими. [1]
Література
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. Studies in Advanced Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press. с. viii+268. ISBN 0-8493-7157-0. MR 1158660. Zbl 0804.28001..
- Falconer, Kenneth J. (1986). The geometry of fractal sets. Cambridge Tracts in Mathematics 85. Cambridge: Cambridge University Press. с. xiv+162. ISBN 0-521-25694-1. MR 867284. Zbl 0587.28004..
- Lebesgue, Henri (1910). Sur l'intégration des fonctions discontinues. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 27: 361–450. JFM 41.0457.01.
- Natanson, I. P (1955). Theory of functions of a real variable. New York: Frederick Ungar Publishing Co. с. 277. MR 0067952. Zbl 0064.29102..
- Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis. Measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. MR 2129625. Zbl 1081.28001..
- Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907]. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (Italian) 43: 75–92. JFM 39.0101.05..