Сепарабельний простір

Сепарабельним простором у математиці називається топологічний простір, в якому міститься не більш ніж зліченна всюди щільна множина, тобто існує послідовність така, що будь-яка відкрита множина містить хоча б один елемент даної послідовності.

Властивості

  • Будь-який відкритий топологічний підпростір сепарабельного топологічного простору теж є сепарабельним. Для загального підпростору подібне твердження є невірним.
  • Будь-який топологічний простір є підпростором сепарабельного простору тієї ж кардинальності.
  • Неперервний образ сепарабельного простору є сепарабельним.

Приклади

  • Топологічний простір, який є скінченним чи зліченним є, очевидно, сепарабельним.
  • Дійсна пряма є сепарабельним простором, оскільки множина раціональних чисел є зліченною щільною підмножиною.
  • Будь-який компактний метричний простір є сепарабельним.
  • Гільбертів простір є сепарабельним тоді й лише тоді, коли він має зліченний ортонормований базис.

Див. також

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.