Локон Аньєзі

Координати точки ${\displaystyle M}$, що лежить на локоні — ${\displaystyle x=BM}$, ${\displaystyle y=OB}$. ${\displaystyle OA=a}$ і за визначенням будуємо пропорцію

${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}}$

Звідси

${\displaystyle \textstyle BC={\frac {xy}{a}}}$

З іншого боку ${\displaystyle BC}$ може бути знайдений з рівняння окружності:

${\displaystyle \textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}}$

Нам відомий ${\displaystyle y=OB}$, значить виражаємо ${\displaystyle x^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Прирівнюємо обидва вирази для ${\displaystyle BC}$:

${\displaystyle \textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо ${\displaystyle y^{2}}$ за дужки:

${\displaystyle \textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay}$

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$

Координати точки ${\displaystyle M}$ однозначно визначаються кутом ${\displaystyle \varphi }$ між ${\displaystyle OB}$ і ${\displaystyle OC}$. Якщо ${\displaystyle OB=y}$, а ${\displaystyle BM=x}$, тоді за визначенням локону можна скласти пропорцію

${\displaystyle \textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}}$

${\displaystyle OA}$ за визначенням дорівнює ${\displaystyle a}$. З трикутника ${\displaystyle OBC}$: ${\displaystyle BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi }$, значить

${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}}$

звідси ${\displaystyle x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi }$. Цю формулу підставляємо в рівняння кривої:

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

Використавши тотожність, отримаємо

${\displaystyle y=a\cos ^{2}\varphi }$