Мартингал

• Послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$.

• Нехай задана також інша послідовність мартингалів ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Тоді послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ називається мартингалом відносно ${\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}$ або ${\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}$-мартингалом, якщо

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$.

• Найбільш загально нехай ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — ймовірнісний простір і ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ називається мартингалом, якщо виконуються умови:

1. Процес ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ є узгодженим з фільтрацією ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in N}}$.
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$;
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$.

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n}\mid {\mathcal {F}}_{m}]=X_{m}}$.

Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ з заданою на ньому фільтрацією ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$, де ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$. Тоді випадковий процес ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ називається мартингалом відносно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$, якщо

1. ${\displaystyle X_{t}\,}$ вимірна відносно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для довільного ${\displaystyle t\in T}$.
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$.
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$.

Якщо як ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята природна фільтрація ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$, то ${\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}$ називається просто мартингалом.

• Нехай задана послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Тоді послідовність випадкових величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ називається су́б(су́пер)мартингалом відносно ${\displaystyle \{Y_{n}\}\,\!}$, якщо

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;}
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .}$

• Випадковий процес ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} }$ називається суб(супер)мартингалом відносно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$, якщо

1. ${\displaystyle X_{t}\,\!}$ вимірна відносно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для довільного ${\displaystyle t\in T}$.
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$.
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$.

Якщо як ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята природна фільтрація ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$, то ${\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}$ називається просто суб(супер)мартингалом.

• Якщо ${\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}$ — мартингал, то ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} }$.
• Якщо ${\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}$ — субмартингал, то ${\displaystyle \{-X_{t}\}\,\!}$ — супермартингал.
• Якщо ${\displaystyle \{X_{t}\}\,\!}$ є мартингалом, а ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — опукла функція, то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!}$ — субмартингал. Якщо ${\displaystyle f\,\!}$ — вгнута функція, то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}\,\!}$ — супермартингал.

• Вінерівський процес є мартингалом.
• Якщо { N_t : t ≥ 0 } є Пуассонівським процесом з параметроом λ, тоді випадковий процес { N_t − λt : t ≥ 0 } є мартингалом з неперервним часом.
• Мартингал Дуба
• Мартингал де Муавра

• G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6