Матриця Коші
В математиці, матриця Коші (названа в честь Огюстена Луї Коші) — це m×n-матриця з елементами вигляду:
де та є елементами поля , а послідовності та таких елементів є ін'єкційними (не містять повторюваних елементів).
Матриця Гільберта є окремим випадком матриці Коші при
Кожна підматриця (матриця, яка виходить в результаті викреслювання певного рядка і стовпця) матриці Коші також є матрицею Коші.
Визначники Коші
Визначник квадратної матриці Коші є раціональної функцією параметрів та . Якщо ці послідовності не ін'єктівні, то визначник дорівнює нулю. Якщо деякі прямують до , то визначник прямує до нескінченності. Таким чином, частина множин нулів і полюсів визначника Коші заздалегідь відома. Насправді інших нулів і полюсів немає.
Явний вигляд визначника квадратної матриці Коші A, або просто визначник Коші:
- (Schechter 1959, eqn 4).
Він завжди не дорівнює нулю, таким чином, матриці Коші є оборотними. Обернена матриця A−1 =B= [bij] має вигляд:
- (Schechter 1959, Theorem 1)
де Ai(x) и Bi(x) — многочлени Лагранжа для послідовностей і , відповідно. Тобто
- і
де
- і
Узагальнення
Матриця C називається матрицею типу Коші, якщо вона має вигляд
Позначивши X=diag(xi), Y=diag(yi), отримаємо, що матриці типу Коші (зокрема, просто матриці Коші) задовольняють зміщеному рівнянню:
(в разі матриць Коші ). Відповідно матриці типу Коші мають загальну зміщену структуру, що може бути використано при роботі з такими матрицями. Наприклад, відомі алгоритми для
- наближеного множення матриці Коші на вектор за операцій,
- LU-розкладання за операцій (алгоритм GKO), і відповідний алгоритм рішення систем лінійних рівнянь з такими матрицями,
- нестійкі алгоритми для вирішення систем лінійних рівнянь за операцій.
Через позначений розмір матриці (зазвичай мають справу з квадратними матрицями, хоча всі вищенаведені алгоритми легко можуть бути узагальнені на прямокутні матриці).
Див. також
Посилання
- A. Gerasoulis (1988). A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors. Mathematics of Computation 50 (181): 179–188.
- I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation 64 (212): 1557–1576.
- P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). An algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices. Computers & Mathematics with Applications 50: 741–752.
- S. Schechter (1959). On the inversion of certain matrices. Mathematical Tables and Other Aids to Computation 13 (66): 73–77.