Матриця одиниць

У математиці, матриця одиниць — це матриця, кожен елемент якої дорівнює одиниці[1]. Приклади:

J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad

Властивості

Для квадратної n×n-матриці одиниць J істинними є такі твердження:

Слід матриці J дорівнює n[2], а визначник дорівнює 1 при n = 1, і 0 у всіх інших випадках.
Ранг матриці J дорівнює 1.[3]
У матриці J тільки два власні значення: n (некратне) і 0 (кратності n-1).
$J^{k}=n^{k-1}J$ для $k=1,2,\ldots .$ [4]
Матриця ${\tfrac {1}{n}}J$ є ідемпотентною.
Експонента матриці одиниць подається у вигляді: $\exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.$
J є одиничним елементом відносно добутку Адамара.[5]

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). 0.2.8 The all-ones matrix and vector. Matrix Analysis. Cambridge University Press. с. 8. ISBN 9780521839402..
Stanley, Richard P. (2013). Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More. Springer. Lemma 1.4, p. 4. ISBN 9781461469988..
Stanley, (2013); Horn та Johnson, (2012), p. 65.
Timm, Neil H. (2002). Applied Multivariate Analysis. Springer texts in statistics. Springer. с. 30. ISBN 9780387227719..
Smith, Jonathan D. H. (2011). Introduction to Abstract Algebra. CRC Press. с. 77. ISBN 9781420063721..

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.