Функція Мінковського

Функцію Мінковського можна задати декількома еквівалентними способами: через ряди Фарея, через ланцюгові дроби і побудовою графіка за допомогою послідовних ітерацій.

Нехай точка ${\displaystyle x\in [0,1]}$ задається ланцюговим дробом ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$. Тоді збільшення ${\displaystyle a_{1}}$ на одиницю, тобто, перехід до ${\displaystyle y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]}$ задається відображенням

${\displaystyle f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x}}}}={\frac {x}{1+x}},}$

а функція Мінковського після такого перетворення ділиться (як це випливає з її задання через ланцюговий дріб аргументу) навпіл:

${\displaystyle$ ?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)}

З іншого боку, зі симетрії відносно ${\displaystyle 1/2}$ медіантної конструкції легко бачити, що

${\displaystyle$ ?(1-x)=1-?(x).\qquad (2)}

Перетворивши (1) за допомогою (2), бачимо, що під дією відображення ${\displaystyle g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}}$ функція Мінковського перетворюється як

${\displaystyle$ ?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+?(x)}{2}}.}

Тому графік функції Мінковського переводиться в себе кожним із перетворень

${\displaystyle F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x}},{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\left({\frac {1}{2-x}},{\frac {1+t}{2}}\right).\qquad (3)}$

Більш того, об'єднання їх образів — це точно весь початковий графік, оскільки образ ${\displaystyle F}$ — це частина графіка над відрізком ${\displaystyle [0,1/2]}$, а образ ${\displaystyle G}$ — графік над відрізком ${\displaystyle [1/2,1]}$.

Графік функції Мінковського можна побудувати як граничну множину для системи ітераційних функцій. А саме, відображення ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$, задані формулами (3), зберігають графік функції Мінковського і переводять одиничний квадрат всередину себе. Тому послідовність множин ${\displaystyle X_{n}}$, визначена рекурсивно співвідношеннями

${\displaystyle X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),}$

є спадна за вкладенням послідовність множин, причому графік ${\displaystyle \Gamma =\{(x,?(x))\mid x\in [0,1]\}}$ функції Мінковського міститься в будь-якій із них.

Неважко помітити, що ${\displaystyle X_{n}}$ є об'єднанням прямокутників висоти ${\displaystyle 1/2^{n}}$, Тому гранична множина

${\displaystyle X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}}$

є графіком деякої функції. Оскільки ${\displaystyle \Gamma \subset X_{\infty }}$, то вони збігаються. Тому графік функції Мінковського це гранична множина системи ітераційних функцій

${\displaystyle F,G:[0,1]^{2}\to [0,1]^{2}.}$

• Функція Мінковського сингулярна, тобто в майже будь-який (за мірою Лебега) точці ${\displaystyle x\in [0,1]}$ її похідна існує і дорівнює нулю. Тим самим, міра на ${\displaystyle [0,1]}$, функцією розподілу якої є функція Мінковського (продовжена нулем на від'ємні числа і одиницею на більші одиниці), сингулярна.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить раціональні числа на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ у двійково-раціональні числа на тому ж відрізку.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить квадратичні ірраціональності на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ у раціональні числа на тому ж відрізку. Дійсно, число ${\displaystyle x}$ є квадратичною ірраціональністю тоді і тільки тоді, коли його розклад у ланцюговий дріб, починаючи з деякого моменту, періодичний; з іншого боку, ця періодичність рівносильна періодичності двійкового запису образу — іншими словами, раціональності ${\displaystyle$ ?(x)} .
• Графік функції Мінковського переводиться в себе відображеннями ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$, заданими (3), а, отже, і їх композиціями.

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003). A Survey of the Minkowski ?(x) Function. Masters thesis. West Virginia University., Посилання.
• Conway, J. H. (2000). Contorted fractions. On Numbers and Games (вид. 2nd). Wellesley, MA: A K Peters. с. 82—86..
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

• Функція Кантора

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.