Дріб

Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

Спрощення дробу на найбільший спільний дільник чисельника та знаменника.

Дріб називають нескоротним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого^{[джерело?]}, таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

${\displaystyle {{a \over b}+{c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{cb} \over {db}}}={{ad+cb} \over {bd}}}$

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

${\displaystyle {{a \over b}-{c \over d}}={{a \over b}+{-c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{-cb} \over {bd}}}={{ad-cb} \over {bd}}}$

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

${\displaystyle {{a \over b}*{c \over d}}={{ac} \over {bd}}}$

Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його чисельник:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times b=a}$
Добутком двох взаємно простих дробів є завжди 1:
${\displaystyle {a \over b}\times {b \over a}=1}$

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

${\displaystyle {{a \over b}:{c \over d}}={{a \over b} \over {c \over d}}={{ad} \over {bc}}}$

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

де

${\displaystyle pa+qb\neq 0}$

${\displaystyle pc+qd\neq 0}$

Висновок:

Із ${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

${\displaystyle {a}={{cb} \over d}}$

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{m{{cb} \over d}+nb} \over {p{{cb} \over d}+qb}}={{{{mcb} \over d}+nb} \over {{{pcb} \over d}+qb}}={{{mcb+nbd} \over d} \over {{pcb+qdb} \over d}}={{{b(mc+nd)} \over d}*{d \over {b(pc+qd)}}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

${\displaystyle {{a\pm b} \over b}={{c\pm d} \over d}}$,

${\displaystyle {{a-b} \over {a+b}}={{c-d} \over {c+d}}}$

Очевидно,

${\displaystyle a+b\neq 0}$

${\displaystyle c+d\neq 0}$