Метод статистичної лінеаризації

Ме́тод статисти́чної лінеариза́ції  — метод, що полягає в заміні нелінійних характеристик елементів систем автоматичного керування (САК) лінійною залежністю, еквівалентною в значенні наближення перших двох моментів закону розподілу вхідних координат. Сутність методу полягає в тому, що нелінійна залежність ${\displaystyle \!Z(t)=F\left[X(t)\right]\,\,\,(1)}$
зв'язуюча вхідну ${\displaystyle \!X(t)}$ і вихідну ${\displaystyle \!Z(t)}$ випадкові змінні деякого елемента САК замінюється лінійною функцією вигляду

${\displaystyle \!Z{}_{1}(t)=a(t)\left[X(t)-{\overline {x}}(t)\right]+b(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}$

де ${\displaystyle \!{\overline {x}}(t)}$— математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle \!X(t)}$, ${\displaystyle \!a(t)}$ і ${\displaystyle \!b(t)}$ — деякі невідомі (не випадкові) функції, які визначаються так, щоб ${\displaystyle \!Z{}_{1}(t)}$ найкращим чином апроксимувала ${\displaystyle \!Z(t)}$ у вищезгаданому значенні. Для збігу перших моментів (математичних сподівань) необхідне виконання рівності

${\displaystyle \!b(t)=M\{F\left[X(t)\right]\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}$

Функцію ${\displaystyle \!a(t)}$ визначають з умов наближення других моментів різними способами:

• 1) З умови рівності дисперсій ${\displaystyle \!Z(t)}$ і ${\displaystyle \!Z{}_{1}(t)}$ (функція ${\displaystyle \!a(t)}$тут позначається ${\displaystyle \!a_{1}(t)}$: ${\displaystyle \!\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)\cdot \mathop {a} _{1}^{2}(t)=\mathop {\sigma } _{z}^{2}(t)}$, тобто

${\displaystyle \!a{}_{1}(t)=\pm {\frac {\sigma {}_{z}(t)}{\sigma {}_{x}(t)}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}$
де знак в правій частині рівності повинен бути вибраний так, щоб характер зміни функцій ${\displaystyle \!Z(t)}$ і ${\displaystyle \!Z{}_{1}(t)}$ був однаковим (наприклад, якщо ${\displaystyle \!Z(t)=X^{3}(t)}$, то повинен бути узятий «+», а якщо ${\displaystyle \!Z(t)=-sign\,X(t)}$, то повинен бути узятий «—»).

• 2) З умови мінімуму дисперсії різниці ${\displaystyle \!\left[Z(t)-Z{}_{1}(t)\right]}$ (тут функція ${\displaystyle \!a(t)}$позначена ${\displaystyle \!a_{2}(t)}$):

${\displaystyle \!\min \,D\,\{F[X(t)]-a_{2}(t)[X(t)-{\overline {x}}(t)]-b(t)\}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)}$
Обчисливши значення дисперсії в (5) і мінімізувавши отриманий вираз по ${\displaystyle \!a_{2}(t)}$ відомими методами, отримаємо

${\displaystyle \!a_{2}(t)={\frac {k{}_{xz}(t)}{\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)}$

де ${\displaystyle \!k{}_{xz}}$ — кореляційний момент ${\displaystyle \!X(t)}$ і ${\displaystyle \!Z(t)}$. Функції ${\displaystyle \!a_{1}(t)}$ і ${\displaystyle \!a_{2}(t)}$, природно, не збігаються між собою і не можуть бути вказані загальні міркування на користь того або іншого способу визначення ${\displaystyle \!a(t)}$. Виходячи з досвіду практичних розрахунків, рекомендується як ${\displaystyle \!a(t)}$ брати напівсуму ${\displaystyle \!a{}_{1}(t)}$ і ${\displaystyle \!a{}_{2}(t)}$: ${\displaystyle \!a(t)={\frac {1}{2}}[a_{1}(t)+a_{2}(t)].\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)}$
Для обчислення виразів (3), (4), (6) необхідно мати закон розподілу (густина ймовірності) ${\displaystyle \!f(x)}$ ординати випадкової функції ${\displaystyle \!X(t)}$ у момент ${\displaystyle \!t}$. Тоді за загальними формулами для математичного сподівання можна визначити ${\displaystyle \!b(t)={\overline {z}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{F(x)}\,f(x)\,dx;\,\,\,\,\,\,\,\,\,(8)}$

${\displaystyle \!\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{F^{2}(x)}\,f(x)\,dx-{\overline {z^{2}}}(t);\,\,\,\,\,\,\,\,\,(9)}$
і
${\displaystyle \!k{}_{xz}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{xF(x)}\,f(x)\,dx-{\overline {x}}(t){\overline {z}}(t).\,\,\,\,\,\,\,\,\,(10)}$

Тут ${\displaystyle \!f(x)}$ для нестаціонарних процесів ${\displaystyle \!X(t)}$ залежить від ${\displaystyle \!t}$ як від параметра. Метод застосовний і для нелінійних систем із зворотним зв'язком. В цьому випадку аргументом характеристики нелінійної ланки буде не вхідна функція ${\displaystyle \!X(t)}$, а сума ${\displaystyle \!X(t)+Y(t)}$ вхідної і вихідної функцій, а лінеаризувати належить ${\displaystyle \!F\left[X(t)+Y(t)\right]\,}$. Формально і тут можна покласти ${\displaystyle \!F\left[X(t)+Y(t)\right]\,=a(t)[\left[X(t)+Y(t)\right]]+b(t).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(11)}$ Для визначення ${\displaystyle \!a(t)}$і ${\displaystyle \!b(t)}$ тут, окрім закону розподілу ${\displaystyle \!f(x)}$ необхідно мати також закон розподілу суми ${\displaystyle \!X(t)+Y(t)}$. Оскільки параметри ${\displaystyle \!Y(t)}$ невідомі, то звичайно при розрахунках вважають, що сума ${\displaystyle \!X(t)+Y(t)}$ задовольняє нормальному закону розподілу. Це припущення виправдано лише в тому і лише у тому випадку, коли в замкнутому контурі міститься лінійна інерційна ланка з великою сталою часу. Тоді, як відомо, розподіл вихідної координати ${\displaystyle \!Y(t)}$ наближається до нормального навіть при значних відмінностях закону розподілу на вході інерційного елемента від нормального.