Нелінійна система

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку як правило вирішують за допомогою методу відокремлення змінних, особливо у випадку автономних рівнянь. Наприклад, нелінійне рівняння

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$

має загальний розв'язок ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$ (а також u = 0 як частковий розв'язок, що відповідає границі загального розв'язку при якому C прямує до нескінченності). Рівняння є нелінійним оскільки воно записується у вигляді

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$

ліва частина рівняння не є лінійною функцією від u і її похідних. Якби терм u² було замінено на u, задача була б лінійною (задача експоненційного розпаду).

Звичайні диференційні рівняння другого і вищих порядків (у більш загальному випадку, системи нелінійних рівнянь) досить рідко мають розв'язки закритого виду, хоча зустрічаються можливі точні розв'язки і вирішення за допомогою не елементарних інтегралів.

До загальних методів якісного аналізу для розв'язку звичайних нелінійних диференційних рівнянь відносять:

• Дослідження будь-яких консервативних величин, особливо у Гамільтонових системах
• Дослідження дисипативних величин (див. функцію Ляпунова) аналогічно консервативним величинам
• Лінеаризація за допомогою розкладання в ряд Тейлора
• Замінна змінних з метою отримати форму, яку легше вивчати
• Теорія біфуркацій
• Методи теорії збурень (можуть застосовуватися і до алгебраїчних рівнянь)

Ілюстрація маятника

Класичною, широко вивченою нелінійною задачею є динаміка маятника під впливом гравітації. Використовуючи механіку Лагранжа, можна показати[2], що рух маятника можна описати за допомогою безрозмірнісного нелінійного рівняння

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$

де сила гравітації направлена "вниз" і ${\displaystyle \theta }$ це кут, який утворює маятник із своїм початковим станом спокою, як показано на малюнку праворуч. Одним із підходів "вирішення" цього рівняння є використати ${\displaystyle d\theta /dt}$ як множник інтегрування, що дасть наступний результат:

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$

що є безумовним розв'язком, який застосовує еліптичний інтеграл. Цей "розв'язок" як правило має не багато застосувань, оскільки в більшій мірі частка цього рішення прихована в не елементарному інтегралі (nonelementary unless ${\displaystyle C_{0}=2}$).

Іншим підходом до розв'язку цієї задачі є зробити нелінійність лінійною (в даному випадку функцію синусу) за допомогою ряду Тейлора в різних точках, що представляють інтерес. Наприклад, лінеаризація в точці ${\displaystyle \theta =0}$, що називається малокутовим наближенням, має вигляд:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$

оскільки ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ для ${\displaystyle \theta \approx 0}$. Це просте гармонічне коливання, що відповідають коливанням маятника в околі нижньої точки його шляху. Іншою точкою лінеаризації буде ${\displaystyle \theta =\pi }$, що відповідає положенню маятника вертикально вгору:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

оскільки ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ для ${\displaystyle \theta \approx \pi }$. Вирішення задачі передбачає використання гіперболічних синусоїд, і варто відмітити, що на відміну від малокутового наближення, це наближення є стійким, що означає що ${\displaystyle |\theta |}$ буде як правило зростати без границі, хоча можуть існувати і обмежені розв'язки. Це відповідає складності балансування маятника в вертикальній позиції, що фактично є нестабільним станом.

Ще одна цікава лінеаризація можлива довкола точки ${\displaystyle \theta =\pi /2}$, довкола якої ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Це відповідає задачі вільного падіння. Дуже наглядне зображення динаміки маятника можна навести, якщо зібравши разом ці приклади лінеаризації, як показано на малюнку праворуч. Існують інші техніки, які дозволяють знайти (точні) фазові портрети і наближені періоди коливання.