Функції Бесселя

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$, є розв'язки, скінченні в точці ${\displaystyle x=0}$ при цілих або невід'ємних ${\displaystyle \alpha }$. Вибір конкретної функції та її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих ${\displaystyle \alpha }$):

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$

Тут ${\displaystyle \Gamma (z)}$ є гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

Графік функції Бесселя першого роду J

Якщо ${\displaystyle \alpha }$ не є цілим числом, функції ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ і ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо ${\displaystyle \alpha }$ ціле, то правильне таке співвідношення:

${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)\,}$

Воно означає, що на разі функції лінійно залежні. Тоді другим розв'язком рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень ${\displaystyle \alpha }$, використовуючи інтегральне зображення:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau }$

Цей підхід використовував Бессель, дослідивши за його допомогою деякі властивості функцій. Можливе і інше інтегральне зображення:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau }$

Функції Бесселя другого роду — розв'язки ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ рівняння Бесселя, нескінченні в точці ${\displaystyle x=0}$.

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ також іноді називають функцією Неймана, і позначають як ${\displaystyle N_{\alpha }(x)}$. Ця функція пов'язана з ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ таким співвідношенням:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}$

де у разі цілого ${\displaystyle \alpha }$ береться границя по ${\displaystyle \alpha }$, обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

Графік функції Бесселя другого роду Y

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах ${\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}$ і невід'ємних ${\displaystyle \alpha }$ вони виглядають так:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{:}}\quad \alpha =0\\\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{:}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера — Маскероні ${\displaystyle (0.5772\dots )}$, а ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів ${\displaystyle (x\gg |\alpha ^{2}-1/4|)}$ формули виглядають так

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}$

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

${\displaystyle e^{\displaystyle {\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}}$

${\displaystyle g(x,t)=\exp[{\frac {x}{2}}(t-{\frac {1}{t}})]=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }J_{\alpha }(x)t^{n},}$

де ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$визначена у області ${\displaystyle 0\leq x\leq \infty .}$

Розклад у ряд Лорана та коефіцієнти ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ можна знайти

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi l}}\int _{C}{\frac {g(x,t)}{t^{n+1}}}dt.}$

В якості констура ${\displaystyle C}$ навколо точки ${\displaystyle t=0}$ обирається окружність одиничного радіусу у площині ${\displaystyle t,}$ де ${\displaystyle t=\exp(i\theta ).}$ Таким чином,

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\exp\{[x(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/2]\}i\exp(i\theta )d\theta }{[\exp(i\theta )]^{\alpha +1}}}}$

та

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{}^{2\pi }\exp[i(x\sin \theta -n\theta )]d\theta .}$