Модулярна ґратка

Модулярний закон можна спостерігати як обмежений асоціативний закон, який з'єднує дві операції:

λ(μx) = (λμ)x.

Пентагон N₅.

Модулярний закон:

x ≤ b слідує x ∨ (a ∧ b) ≥ (x ∨ a) ∧ b.

Підставляючи замість x вираз x ∧ b, модульний закон може бути виражений у вигляді рівняння наступним чином:

(x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b.

Це показує, що, використовуючи термінологію з універсальної алгебри, модулярні ґратки утворюють різноманіття решіток. Найменша немодулярна ґратка — це «Пентагон»(N₅), що складається з п'яти елементів 0,1,x,a,b, таких що

0 < x < b < 1, 0 < a < 1.

Для цієї ґратки справедливо:

x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b, що суперечить модульному закону.

Кожна немодулярна ґратка містить копію N₅.

Модулярні ґратки іноді називають дедекіндовими структурами на честь Ріхарда Дедекінда, який відкрив модулярні ідентичності.

Для будь-яких двох елементів a,b модулярної ґратки, можна розглядати інтервали [a ∧ b, b] та [a, a ∨ b]. Вони пов'язані та зберігають порядок:

φ: [a ∧ b, b] → [a, a ∨ b] та

ψ: [a, a ∨ b] → [a ∧ b, b]

які визначаються φ(x) = x ∨ a та ψ(x) = x ∧ b.

• 
  В модулярній ґратці, відображення φ і ψ, що вказані стрілками є взаємно зворотним ізоморфізмом.
• 
  Суперечність теоремі ізоморфізму алмазів в немодулярній ґратці.

Композиція ψφ зберігає порядок відображення на інтервалі [a ∧ b, b] та задовольняє нерівності ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x. Аналогічно φψ тотожно [a, a ∨ b]. Отже спостерігаємо ізоморфізм двох відображень φ та ψ.

Цей результат іноді називають теоремою алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток. Ґратка є модулярною тоді і тільки тоді, коли теорема алмазів ізоморфізму існує для будь-якої пари елементів.

Теорема алмазів ізоморфізму для модулярних ґраток аналогічна третій теоремі про ізоморфізми в алгебрі.

Решітка шестикутника S₇, також відома як D₂

У будь-якій ґратці, модулярна пара являє собою пару ( a, b ) елементів, таких що для всіх х виконується a ∧ b ≤ x ≤ b, то (x ∨ a) ∧ b = x. Елемент b ґратки називається правим модулярним елементом, якщо (a, b ) являє собою модулярну пару для всіх елементів a.

Ґратка має властивість таку що, якщо (a, b) являє собою модулярну пару, то ( b, a ) також є модулярною парою, та називається M-симетричною ґраткою. У ґратках N₅ , описаних вище, пара ( b, a ) є модульною, але пари (a, b) немає. Тому N₅ не є M-симетричною. Центрова ґратка шестикутника S₇ М-симетрична, але не модулярна. З того, що N₅ є підґраткою S₇ випливає, що M-симетричні ґратки не утворюють різноманіття ґраток.

M-симетрія не є поняттям самодвоїстості. Двоїсті модулярні пари являють собою пару, яка має подвійне відношення порядку, а ґратка називається двоїстою M-симетричною або M^*-симетричною (подвійна M-симетричність ). Отже ґратка може бути модулярною тоді й тільки тоді, коли вона M-симетрична і M^*-симетрична. Це еквівалентно і для нескінченних ґраток, які задовольняють умову максимальності (або низхідний ланцюжковий стан).

Ґратки навхрест симетричні тоді, коли для кожної модулярної пари ( a, b ) пара ( b, a ) є двічі модулярною. Симетрія навхрест означає, що виконується M-симетрія, але не виконується M^*-симетрія. Тому вона не еквівалентна подвійній симетрії навхрест. Ґратка з найменшим елементом 0 є ⊥-симетричною, якщо для кожної модулярної пари ( a, b ), що задовольняє a ∧ b = 0, пара (b, a) також є модулярною.

Термін «модулярність» пов'язаний з ім’ям німецького математика Ріхарда Дедекінда. Він опублікував велику частину документів після його виходу на пенсію. У статті, опублікованій в 1894 році, він вивчав ґратки, які назвав подвійними групами (нім. Dualgruppen). Він також зазначив, що для ґраток загалом модулярний закон є еквівалентним двоїстому.

Дедекінд також зазначив, що будь-яка ґратка комутативного кільця задовольняє наступній формі модулярної ідентичності, яка також є самодвоїстою:

(x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [x ∨ a] ∧ b.

Він називав ґратки, які задовольняють цій тотожності, подвійною групою ідеального типу (нім. Dualgruppen vom Idealtypus). У сучасній літературі їх частіше називають дистрибутивними ґратками.

• Дистрибутивна ґратка

• Corry, Leo. Modern algebra and the rise of mathematical structures (вид. 2nd). с. 121–129. ISBN 978-3-7643-7002-2.
• Dedekind, Richard (1897). Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler. Braunschweiger Festschrift: 1–40.
• Dedekind, Richard (1900). Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Mathematische Annalen 53 (3): 371–403. doi:10.1007/BF01448979.
• Fofanova, T. S. (2001). Semi-modular lattice. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Maeda, Shûichirô (1965). On the symmetry of the modular relation in atomic lattices. Journal of Science of the Hiroshima University 29: 165–170.
• Rota, Gian-Carlo (1997). The many lives of lattice theory. Notices of the American Mathematical Society 44 (11): 1440–1445. ISSN 0002-9920.
• Skornyakov, L. A. (2001). Modular lattice. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Stern, Manfred (1999). Semimodular lattices. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46105-4.