Теореми про ізоморфізми

Якщо ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ гомоморфізм груп, тоді:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ є нормальною підгрупою в ${\displaystyle G}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є підгрупою в ${\displaystyle H}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є ізоморфним до фактор-групи ${\displaystyle ^{G}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }}$.

Якщо ${\displaystyle G}$ — група, ${\displaystyle S}$ — підгрупа в ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа в ${\displaystyle G}$, тоді:

1. Добуток ${\displaystyle SN}$ є підгрупою в ${\displaystyle G}$;
2. Перетин ${\displaystyle S\cap N}$ є нормальною підгрупою в ${\displaystyle S}$;
3. Фактор-групи ${\displaystyle (SN)/N}$ та ${\displaystyle S/(S\cap N)}$ є ізоморфними.

Якщо ${\displaystyle G}$ — група, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle K}$ — нормальні підгрупи в ${\displaystyle G}$, такі що ${\displaystyle K\subseteq N}$, тоді:

1. ${\displaystyle ^{N}\!{\big /}\!_{K}}$ є нормальною підгрупою в ${\displaystyle ^{G}\!{\big /}\!_{K}}$;
2. Фактор-група ${\displaystyle ^{^{G}\!{\big /}\!_{K}}\!{\Big /}\!_{^{N}\!{\big /}\!_{K}}}$ ізоморфна до ${\displaystyle ^{G}\!{\big /}\!_{N}}$.

Якщо ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$ гомоморфізм кілець, тоді:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ є ідеалом в ${\displaystyle R}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є підкільцем в ${\displaystyle S}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є ізоморфним до фактор-кільця ${\displaystyle ^{R}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }}$.

Якщо ${\displaystyle R}$ — кільце, ${\displaystyle S}$ — підкільце в ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle I}$ — ідеал в ${\displaystyle R}$, тоді:

1. Сума ${\displaystyle S+I}$ є підкільцем в ${\displaystyle R}$;
2. Перетин ${\displaystyle S\cap I}$ є ідеалом в ${\displaystyle R}$;
3. Фактор-кільця ${\displaystyle ^{(S+I)}\!{\big /}\!_{I}}$ та ${\displaystyle ^{S}\!{\big /}\!_{(S\cap I)}}$ є ізоморфними.

Якщо ${\displaystyle R}$ — кільце, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ — ідеали ${\displaystyle R}$, такі що ${\displaystyle B\subseteq A}$, тоді:

1. ${\displaystyle ^{A}\!{\big /}\!_{B}}$ є ідеалом в ${\displaystyle ^{R}\!{\big /}\!_{B}}$;
2. Фактор-кільце ${\displaystyle ^{^{R}\!{\big /}\!_{B}}\!{\Big /}\!_{^{A}\!{\big /}\!_{B}}}$ ізоморфно до ${\displaystyle ^{R}\!{\big /}\!_{A}}$.

Якщо ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ гомоморфізм модулів, тоді:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ є підмодулем в ${\displaystyle M}$;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є підмодулем в ${\displaystyle N}$;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ є ізоморфним до фактор-модуля ${\displaystyle ^{M}\!{\big /}\!_{\ker \varphi }}$.

Якщо ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$ — підмодулі в ${\displaystyle M}$, тоді:

1. Сума ${\displaystyle S+T}$ є підмодулем в ${\displaystyle M}$;
2. Перетин ${\displaystyle S\cap T}$ є підмодулем в ${\displaystyle M}$;
3. Фактор-модулі ${\displaystyle ^{(S+T)}\!{\big /}\!_{T}}$ та ${\displaystyle ^{S}\!{\big /}\!_{(S\cap T)}}$ є ізоморфними.

Якщо ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$ — підмодулі в ${\displaystyle M}$, такі що ${\displaystyle T\subseteq S}$, тоді:

1. ${\displaystyle ^{S}\!{\big /}\!_{T}}$ є підмодулем в ${\displaystyle ^{M}\!{\big /}\!_{T}}$;
2. Фактор-множина ${\displaystyle ^{^{M}\!{\big /}\!_{T}}\!{\Big /}\!_{^{S}\!{\big /}\!_{T}}}$ ізоморфна до ${\displaystyle ^{M}\!{\big /}\!_{S}}$.