Наближення майже вільних електронів

Гамільтоніан, що описує рух електрона в потенціальному полі ядер атомів у наближенні середнього поля задається формулою

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ - приведена стала Планка, m - маса електрона, ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ - періодичний потенціал. що враховує взаємодію електрона з кристалічною ґраткою й іншими електронами.

Хвильову функцію електрона, що повинна задовільняти теоремі Блоха, можна шукати у вигляді розкладу в ряд Фур'є

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$,

де ${\displaystyle \mathbf {k} }$ - хвильовий вектор, ${\displaystyle \mathbf {G} }$ - вектор оберненої ґратки.

Якщо потенціал ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ малий за величиною в порівняні з кінетичною енергією електрона, то рух електронів можна вважати майже вільним. Енергія електрона задається формулою

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$,

Ця формула справедлива усюди в зоні Брілюена, окрім того випадку, коли хвильова функція поступального руху електрона інтерферуватиме із хвилею, розсіяною на періодичному потенціалі. Така ситуація складається тоді, коли ${\displaystyle \mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2}$. В цій області хвильових векторів використовується двохвильове наближення, згідно з яким амплітуди прямої й розсіяної хвилі визначаються системою рівнянь.

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0}$,

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0}$,

де ${\displaystyle V_{\mathbf {G} }}$ - коефіцієнти розкладу періодичного потенціалу в ряд Фур'є.

Ця система рівнять має нетривіальний розв'язок при виконанні умови

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0}$,

що задає закон дисперсії електронних станів на границі зони Брілюена. Безпосередньо на границі (${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2}$)

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|}$.

У проміжку енергій між ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|}$ і ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|}$ електронних рівнів немає, чим визначається існування вузької забороненої зони.

• Наближення сильного зв'язку

• Ансельм А.И. (1978). Введение в физику полупроводников. Москва: Наука.