Недезаргова площина

Недезаргова площина — це проєктивна площина, яка не задовольняє теоремі Дезарга, іншими словами, яка не є дезарговою. Теорема Дезарга виконується у всіх проєктивних просторах розмірності, відмінної від 2[1], тобто, для всіх класичних проєктивних геометрій над полем (або тілом), проте Гільберт виявив, що деякі проєктивні площини не задовольняють теоремі.

Приклади

Деякі приклади є скінченними геометріями. Для скінченної проєктивної площини порядок на одиницю менший від числа точок на прямій (це константа для всіх прямих). Деякі приклади недезаргових площин:

  • Площина Молтона.
  • Будь-яка проєктивна площина порядку, що не перевищує 8, є дезарговою, але існує три недезаргових площини порядку 9, кожна по 91 точці і 91 прямій[2]
  • Площини Г'юза.
  • Муфангові площини над альтернативними тілами, які не є асоціативними, як, наприклад, проєктивна площина над октоніонами.
  • Площини Голла.
  • Площини Андре.

Класифікація

За Вайбелем[3], Х. Ленц дав схему класифікації для проєктивних площин 1954 року[4] і її допрацював А. Барлотті 1957 року[5]. Ця схема класифікації ґрунтується на типах транзитивності точка-пряма, дозволених групою колінеації площини і відома як класифікація проєктивних площин Ленца — Барлотті. Список 53 типів дано в книзі Дембовскі[6]. Таблиця відомих результатів про існування (для груп колінеації і площин, що мають такі групи колінеації) як для скінченного, так і нескінченного випадку, міститься на сторінці 126 книги. За словами Вайбеля, «36 із них існують як скінченні групи. Від 7 до 12 існують як скінченні проєктивні площини і 14 або 15 існують як нескінченні проєктивні площини.»

Існують і інші схеми класифікації. Одна з найпростіших схем базується на типі плоского тернарного кільця, яке можна використовувати для введення координат на проєктивній площині. Ці типи: поле, тіло, альтернативні тіла, напівполя, майже поля, праві майже поля, квазіполя і праві квазіполя[7].

Конічні перетини

У дезарговій проєктивній площині конічний перетин можна визначити різними еквівалентними способами. У недезаргових площинах доведення еквівалентності виявляються хибними і різні визначення можуть дати нееквівалентні об'єкти[8]. Остром Т. Г. запропонував назву конкоїд для цих подібних конічних перетинів фігур, але не навів формального визначення і термін, як видно, не набув поширення[9].

Існує кілька способів визначення конічних перетинів на дезаргових площинах:

  1. Множина абсолютних точок[10] полярності відома як конічний перетин фон Штаудта. Якщо площина визначена над полем характеристики два, отримаємо тільки вироджені конічні перетини.
  2. Множина точок перетинів відповідних прямих двох пучків, які проєктивно, але не перспективно, пов'язані, відома як конічний перетин Штейнера. Якщо пучки перспективно пов'язані, перетин вироджений.
  3. Множина точок, координати яких задовольняють незвідному однорідному рівнянню другого степеня.

Крім того, на скінченній дезарговій площині:

  1. Множина q + 1 точок, ніякі три з яких не колінеарні в PG(2,q), називають овалом. Якщо q непарне, овал є конічним перетином у сенсі пункту 3 вище.
  2. Конічний перетин Острома ґрунтується на узагальненнях гармонічних множин.

Артці дав приклад конічних перетинів Штейнера на муфанговій площині, які не є перетинами фон Штаудта[11]. Гарнер навів приклад конічного перетину фон Штаудта, який не є конічним перетином Острома на скінченній площині напівполя[8].

Примітки
  1. Теорема Дезарга тривіально, але беззмістовно істинна в розмірності 1. Проблема виникає тільки в розмірності 2.
  2. див. книгу Рума і Кіркпатрика (Room, Kirkpatrick, 1971) з описом усіх чотирьох площин порядку 9.
  3. Weibel, 2007, с. 1296.
  4. Lenz, 1954, с. 20–31.
  5. Barlotti, 1957, с. 212–226.
  6. Dembowski, 1968, с. 124—5.
  7. Colbourn, Dinitz, 2007, с. 723, стаття про скінченну геометрію Лео Сторме.
  8. Garner, 1979, с. 132–138.
  9. Ostrom, 1981, с. 175–196.
  10. У просторі з полярністю (відображенням точок у прямі порядку два зі збереженням інцидентності) точка є абсолютною, якщо лежить на своєму образі, а пряма є абсолютною, якщо проходить через свій образ (точку).
  11. Artzy, 1971, с. 30–35.

Література
  • Albert A.A., Sandler R. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York : Holt, Rinehart and Winston, 1968.
  • Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
  • Dembowski P. Finite Geometries. — Berlin : Springer Verlag, 1968.
  • Hall M. Projective planes. — Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1943. — Т. 54. — С. 229–277. — DOI:10.2307/1990331.
  • Hughes D.R., Piper F.C. Projective Planes. — New York : Springer Verlag, 1973. — ISBN 0-387-90044-6.
  • Kárteszi F. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam : North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7.
  • Lüneburg H. Translation Planes. — Berlin : Springer Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09614-0.
  • Room T. G., Kirkpatrick P. B. Miniquaternion Geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1971. — ISBN 0-521-07926-8.
  • Sidorov L.A. Non-Desarguesian_geometry // Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel M. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Stevenson F.W. Projective Planes. — San Francisco : W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9.
  • Weibel C. Survey of Non-Desarguesian Planes // Notices of the AMS. — 2007. — Т. 54, вип. 10 (27 лютого). — С. 1294–1303.
  • Lenz H. Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1954. — Т. 57 (27 лютого).
  • Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1957. — Т. 12 (27 лютого).
  • Garner C.W.L. Conics in Finite Projective Planes // Journal of Geometry. — 1979. — Т. 12, вип. 2 (27 лютого). — DOI:10.1007/bf01918221.
  • Artzy R. The Conic y=x2 in Moufang Planes // Aequationes Mathematicae. — 1971. — Т. 6 (27 лютого). — DOI:10.1007/bf01833234.
  • Ostrom T.G. Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes // Geometry - von Staudt's Point of View / Plaumann P., Strambach K. — D. Reidel, 1981. — ISBN 90-277-1283-2.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.