Теорема Дезарга

В проєктивній геометрії теорема Дезарга, названа на честь Жерара Дезарга, стверджує: в проєктивному просторі два трикутники перспективно осьові тоді і тільки тоді, якщо вони перспективно центральні.

На малюнку два перспективні трикутники. Відповідні сторони трикутника після продовження перетинаються в точках, які лежать на прямій, що називається вісью перспективи. Прямі проведені через відповідні вершини трикутників перетинаються в точці, яка називається центром перспективи. Теорема Дезарга стверджує, що перша умова є необхідною і достатньою для другої умови.

Позначимо три вершини одного трикутника (меншого розміру) a, b і c а іншого (більший) A, B і C.

Осьова перспектива є тоді і тільки тоді, якщо точки перетину ab і AB, bc і BC, ac і AC — розміщені на одній прямій, яка називається вісь перспективи.

Центральна перспектива є тоді і тільки тоді, якщо три лінії Aa, Bb і Cc — конкурентні в точці, яка називається центр перспективи.

Формулювання

Якщо два трикутники розташовані на площині так, що прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку, то три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій.

Обернене також істинне:

Якщо два трикутники розташовані на площині так, що три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій, то прямі, які з'єднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку.

Зауваження
  • Ці дві теореми є двоїстими одна для одної, і іноді їх об'єднують у єдину теорему, яка формулюється так: «Два трикутники мають центр перспективи[1] тоді й лише тоді, коли вони мають вісь перспективи[2]».
  • Теорема Дезарга виконується не у всіх проєктивних площинах. Площини, в яких теорема виконується, називають дезарговими. Наприклад, дійсна проєктивна площина — дезаргова, а площина Молтона — недезаргова.

Історія

Дезарг ніколи не публікував цю теорему, але вона з'явилася в додатку під назвою Універсальний метод М. Дезарга для використання перспективи (Maniére universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective) у практичному підручнику по використанню перспективи, опублікованому в 1648[3] його другом і учнем Авраамом Боссе (1602—1676).[4]

Див. також

Джерела

Примітки
  1. Тобто точку, в якій перетинаються три прямі, що проходять через пари відповідних вершин.
  2. Тобто пряму, на якій перетинаються прямі, що містять відповідні сторони.
  3. Smith, (1959, pg.307)
  4. Katz, (1998, pg.461)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.