Незліченна множина

Є багато еквівалентних характеристик незліченності множини. Множина X є незліченною тоді і тільки тоді, коли виконуються будь-які з наступних умов:

• Не існує ін'єктивного відображення X у множину натуральних чисел.
• X не порожня, і для кожної ω-послідовності елементів X існує принаймні один елемент X, не включений у послідовність. Тобто, X не порожня множина і немає сюр'єктивного відображення множини натуральних чисел на X.
• Потужність X не є ні скінченною, ні рівною ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-нуль, потужність натуральних чисел).
• Множина X має потужність, строго більшу за ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Можна довести, що перші три характеристики є еквівалентними у теорії множин Цермело — Френкеля без використання аксіоми вибору. Еквівалентність третього і четвертого без цього неможливо довести.

Якщо незліченна множина X є підмножиною Y, тоді Y також буде незліченною множиною.

• Континуум

• Доведення, що R є незліченною множиною (англ.)