Елемент (математика)

Запис A = {1, 2, 3, 4 } означає, що елементами множини А є числа 1, 2, 3 та 4. Множина елементів, що складається з елементів множини А, наприклад {1, 2}, є підмножиною А.

Розглянемо інший приклад, В = {1, 2, {3, 4}}, цей запис не означає, що елементами множини В є числа 1, 2, 3 та 4. Він означає, що елементами множини В є числа 1, 2 та множина {3,4}, отже В складається з трьох елементів.

Елементами множини може бути будь-що. Наприклад, С = {Київ, Луцьк, Львів} (Елементами множини С є міста Київ, Луцьк та Львів)

Запис ${\displaystyle x\in A\,}$ означає, що х є елементом множини А . Еквівалентними є твердження " х належить А " та " х лежить в А " . Вирази «включає в себе X» і «містить х» також використовується для позначення ${\displaystyle x\in A\,}$ , однак деякі автори використовують їх для позначення замість " х є підмножиною ".

Якщо ж елемент х не належить деякій множині А то це позначається так : ${\displaystyle x\notin A\,}$ .

Кількість елментів множини називають потужністю (кардинальним числом). Потужність множини (кардинальне число) позначається |A| (cardA). Наприклад, потужність деякої скінченної множини А = {1, 2, 3} позначається |A|=3 (cardA=3).

Потужність нескінченої множини називається трансфінітним кардинальним числом, або просто трансфінітним числом. Прикладом нескінченної множини є множина натуральних чисел (N = {1 , 2 , 3 , 4 ,…}). Кардинальне число даної множини — ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (читається : " алеф-нуль ").

Приклади використання позначень:

• 2 ∈ А ;
• 5 ∉ А ;
• {3,4} ∈ B ;
• Харків ∉ С ;
• Потужність D={1,3,5,7,12,31} дорівнює 6 (|D|=6);
• Кардинальне число E={2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , …} є трансфінітним ;

• Циклічний порядок
• Кардинальне число
• Множина
• Трансфінітне число
• Елемент

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)