Нерівність Гарнака

Нехай f - функція визначена у кулі в Rⁿ з радіусом R і центром в точці x₀. Якщо f є неперервною в замиканні кулі і гармонійною у відкритій кулі, тоді для кожної точки x для якої |x − x₀| = r < R,

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

У випадку R² (n = 2) нерівність можна записати:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leqslant f(x)\leqslant {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

Для загальних областей ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ нерівність можна подати в такому виді: якщо ${\displaystyle \omega }$ є обмеженою областю для якої ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$, тоді є константа ${\displaystyle C}$ така що

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leqslant C\inf _{x\in \omega }\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau u(x)}$

для кожної двічі диференційовної, гармонічної і невід'ємної функції ${\displaystyle u(x)}$. Константа ${\displaystyle C}$ не залежить від ${\displaystyle u}$, а лише від областей ${\displaystyle \Omega }$ і ${\displaystyle \omega }$.

Згідно інтегральної формули Пуассона

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

де ω_{n − 1} позначає площу сфери радіуса 1 в Rⁿ і r = |x − x₀|.

Оскільки

${\displaystyle R-r\leqslant |x-y|\leqslant R+r,}$

для виразу під інтегралом виконуються нерівності

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leqslant {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leqslant {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

Підставивши ці нерівності в інтеграл вище і враховуючи, що середнє значення гармонічної функції на сфері рівне значенню функції в центрі сфери:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy}$

одержуємо нерівність Гарнака.

Нерівність Гарнака узагальнюється на невід'ємні розв'язки широкого класу лінійних еліптичних рівнянь виду

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=-\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(a_{ij}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u}$

з рівномірно додатно означеною матрицею ${\displaystyle \ A=(a_{i,j})_{n\times n}}$

${\displaystyle \lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\leqslant \Lambda \sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}}$

де ${\displaystyle \Lambda >\lambda >0}$ — числа, ${\displaystyle \xi =(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n})}$ — будь-який n-вимірний вектор, ${\displaystyle x\in \Omega }$. При цьому стала C нерівності Гарнака залежить тільки від ${\displaystyle \Lambda ,\lambda }$, деяких норм молодших коефіцієнтів оператора ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ і відстані між границями ${\displaystyle \Omega }$ і ${\displaystyle \omega }$.

Для невід'ємних розв'язків ${\displaystyle u(x,t)}$ рівномірно параболічних рівнянь виду

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

теж існує аналог нерівності Гарнака. Тут коефіцієнти матриці ${\displaystyle \ (a_{i,j})_{n\times n}}$ задовольняють ті ж умови, що й вище.

У цьому випадку можлива тільки одностороння нерівність

${\displaystyle u(x,t)\leqslant Cu(y,\tau )}$

для точок ${\displaystyle (x,t)}$, що лежать всередині параболоїда

${\displaystyle \left\{(x,t):|x-y|^{2}\leqslant \mu ^{2}(\tau -t),\;\tau -\nu ^{2}\leqslant t\leqslant \tau \right\}}$

з вершиною в точці ${\displaystyle (y,\tau )}$.

При цьому ${\displaystyle C}$ залежить від величин ${\displaystyle y,\tau ,\Lambda ,\lambda ,\mu ,\nu ,}$ деяких норм молодших коефіцієнтів оператора ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ і від відстаней між границею параболоїда і границею області, в якій ${\displaystyle u(x,t)\geqslant 0.}$

Якщо, наприклад, ${\displaystyle u(x,t)\geqslant 0}$ в циліндрі

${\displaystyle Q=(a,b]\times \Omega ,\;\omega \subset \Omega }$

відстань між ${\displaystyle \partial \Omega }$ і ${\displaystyle \partial \omega }$ є більшою або рівною d> 0 і d є достатньо малим, то в ${\displaystyle (a-d^{2},b]\times \omega }$ виконується нерівність:

${\displaystyle \ln {\frac {u(x,t)}{u(y,\tau )}}\leqslant C\left({\frac {|x-y|^{2}}{\tau -t}}+{\frac {\tau -t}{d^{2}}}+1\right).}$

Зокрема, якщо ${\displaystyle u(x,t)\geqslant 0}$ в ${\displaystyle Q}$ і компакти ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ вкладені в ${\displaystyle Q}$, і до того ж:

${\displaystyle \delta =\min _{(x,t)\in Q_{1},(y,\tau )\in Q_{2}}(t-\tau >0)}$

то

${\displaystyle \max _{(x,t)\in Q_{2}}u(x,t)\leqslant C\max _{(x,t)\in Q_{1}}u(x,t),}$

де ${\displaystyle C=C(\delta ,Q,Q_{1},Q_{2},{\mathcal {L}}).}$

Приклад функції

${\displaystyle u(x,t)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}+t\sum _{i=1}^{n}k_{i}^{2}\right)}$

що є розв'язком рівняння теплопровідності ${\displaystyle u_{t}-\Delta u=0}$ при будь-яких ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}}$ показує неможливість в параболічному випадку двосторонніх оцінок.

• Гармонічна функція

• Kamynin, L.I.; Kuptsov, L.P. (2001). Harnack inequality. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

• Harnack, A. (1887). Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene. Leipzig: V. G. Teubner.
• John, Fritz (1982). Partial differential equations. Applied Mathematical Sciences 1 (вид. 4th). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90609-6.
• Moser, Jürgen (1961). On Harnack's theorem for elliptic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics 14 (3): 577–591. MR 0159138. doi:10.1002/cpa.3160140329.
• Moser, Jürgen (1964). A Harnack inequality for parabolic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics 17 (1): 101–134. MR 0159139. doi:10.1002/cpa.3160170106.
• Serrin, James (1955). On the Harnack inequality for linear elliptic equations. Journal d'Analyse Mathématique 4 (1): 292–308. MR 0081415. doi:10.1007/BF02787725.