Спліт-кватерніони

Спліт-кватерніо́ни — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду $\ a+bi+cj+dk$ (вперше описані Джеймсом Коклі у 1849 році), де

\ a,b,c,d

\ i,j,k

для яких виконується:

\ i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1,\quad ij=k

— все як для тессарінів,

тільки замість комутативності (що приводить до $k^{2}=-1$ ), вимагається

k^{2}=+1

.

{\begin{matrix}ij&=&-ji&=&k,\\jk&=&-kj&=&-i,\\ki&=&-ik&=&j.\end{matrix}}

Дещо в іншій формі (із заміною k на -k) вони трапляються під назвою пара-кватерніони.

Спліт-кватерніон як і тессаріни можна записати у вигляді $\ (a+bi)+(c+di)j=A+Bj,$ де

\ A,B

Пов'язані означення

Для спліт-кватерніона $\,q=a+bi+cj+dk$ ,

Як і для комплексних чисел, модуль спліт-кватерніона визначається як: $|q|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}}.$

В тессарінів, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця $\ j^{2}=+1,$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},

які можна використати як альтернативний базис:

\ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\tilde {A}}$ чи ${\tilde {B}}$ рівні нулю.

Спліт-кватерніон може бути представлений у вигляді матриці 2×2 із комплексних чисел:

{\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\c-di&a-bi\end{pmatrix}}

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.