Оболонкова модель ядра

Ядро із масовим числом A і зарядовим числом Z загалом описується гамільтоніаном

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+\sum _{k<j}V_{kj}(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})}$,

де M — маса нуклона, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, ${\displaystyle \Delta _{k}}$ — оператор Лапласа для координат k-го нуклона, ${\displaystyle V_{kj}}$ — потенціал сильної взаємодії між нуколонами, загалом невідомий.

Оскільки задача знаходження енергетичного спектру гамільтоніана з A частинками, де A може буде доволі великим, нереальна, в оболонковій моделі цей гамільтоніан заміняється наближеним, в якому на кожен нуклон діє центральний потенціал:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+V(\mathbf {r} _{k})}$.

Якщо використати як центральний потенціал V(r) — гармонічний потенціал:

${\displaystyle V(r)={\frac {M\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$,

де ${\displaystyle \omega }$ — параметр із розмірністю частоти, то кожен нуклон буде описуватися тривимірним гармонічним осцилятором. Спектр одночастинкових збуджень однаковий для всіх нуклонів, однако розраховані рівні повинні заповнюватися з врахуванням принципа Паулі, окремо для протонів та нейтронів. Враховуючи виродженість станів тривимірного гармонічного осцилятора, а також два можливі спінові стани для кожного з нуклонів, число нуклонів на кожній оболонці буде:

2, 6, 12, 20, 30, 42

що дає магічні числа

2, 8, 20, 40, 70, 112.

Тільки три перші з них правильні, тобто збігаються із експериментальними.

Для покращення моделі потрібно врахувати спін-орбітальну взаємодію, яка для нуклонів у ядрі набагато більша від спін-орбітальної взаємодії електронів в атомі. При врахуванні спін-орбітальної взаємодії гамільтоніан записується у вигляді

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{k=1}^{A}-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta _{k}+V(\mathbf {r} _{k})+f_{ls}(r_{k})({\hat {\mathbf {l} }}_{k}\cdot {\hat {\mathbf {s} }}_{k})}$,

де ${\displaystyle {\hat {\mathbf {l} }}_{k}}$ — оператор орбітального моменту нуклона, а ${\displaystyle {\hat {\mathbf {s} }}_{k}}$ — оператор спіна нуклона.

Спін-орбітальна взаємодія приводить до того, що нуклон притягується до ядра сильніше, коли його спін і орбітальний момент паралельні, і слабше, коли вони антипаралельні. Виродження за орбітальним моментом знімається і рівні нуклонів розщеплюються. Це розщеплення може бути значним і призвести до перегрупування рівнів.

Однонуклонний стан характеризується чотирма квантовими числами: головним квантовим числом n, орбітальним квантовим числом l, квантовим числом повного моменту j та магнітним квантовим числом повного моменту ${\displaystyle m_{j}}$. В поданій нижче таблиці стани згруповані за енергетичним квантовим числом ${\displaystyle N=2(n-1)+l}$. Кількість станів у кожній групі дається числом ${\displaystyle 2g_{N}+2}$. Наведено також число нейтронів, які можуть бути в кожній групі — ${\displaystyle {\bar {N}}_{n}(N)}$. Для протонів потрібно враховувати додаткову кулонівську взаємодію, тому числа дещо інші.

N	0	1	2	3	4	5	6
l	0	1	2;0	3;1	4;2;0	5;3;1	6;4;2;0
j	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {11}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {13}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {11}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle 2g_{N}+2}$	6	8	14	22	32	44	58
${\displaystyle {\bar {N}}_{n}(N)}$	6	14	28	50	82	126	184

Підсумовуючи приведені в таблиці результати, ряд магічних чисел набирає вигляду

2, 8, (14), 20, 28, 40, 50, 82, (114)_p, 126, (186)_n.

У дужках вказані «напівмагічні» числа, для яких магічні властивості, тобто особлива стабільність, виражені слабо. Індексами позначені магічні числа тільки щодо числа протонів або нейтронів. Загалом, теорія узгоджується з експериментом.

У міру подальшого нагромадження експериментальних даних про властивості атомних ядер з'являлися нові факти, які не завжди вкладалися в рамки описаних моделей. Так виникли узагальнена модель ядра (синтез краплинної й оболонкової моделей), оптична модель ядра (пояснює взаємодію ядер із частинками, що налітають) та інші.

• Булавін Л. А., Тартаковський В. К. Ядерна фізика. — Знання. — Київ : ВТД «Університетська книга», 2005. — 439 с. — ISBN 966-346-020-2.
• Гепперт-Майер М., Йенсен И., Элементарная теория ядерных оболочек, Иностранная литература, М., 1958.

• Ядро атома
• Модель Фермі-газу