Ознака Діні

Нехай ${\displaystyle f}$ — функцiя, що задана на вiдрiзку ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, ${\displaystyle t}$ — деяка точка та ${\displaystyle \delta }$ — додатне число. Визначимо локальний модуль неперервностi в точцi ${\displaystyle t}$ як

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle f}$ розглядається як перiодична функцiя; наприклад, якщо ${\displaystyle t=0}$ i ${\displaystyle \varepsilon <0}$, тодi вважаємо, що ${\displaystyle f(\varepsilon )=f(2\pi +\varepsilon )}$.

Глобальний модуль неперервностi (або просто модуль неперервності) визначається як

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t).}$

За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:

Теорема (ознака Дiнi): Нехай у точцi ${\displaystyle t}$ функцiя ${\displaystyle f}$ задовольняє умову

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$

Тодi ряд Фур’є функцiї ${\displaystyle f}$ у точцi ${\displaystyle t}$ збiгається до функцiї ${\displaystyle f(t)}$

Наприклад, теорема справедлива при ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$, але несправедлива при ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$.

Теорема (ознака Дiнi–Лiпшiца): Нехай функцiя ${\displaystyle f}$ задовольняє умову

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

Тодi ряд Фур’є функцiї ${\displaystyle f}$ рiвномiрно збiгається до ${\displaystyle f}$.

Зокрема, будь-яка функцiя з класу Гельдера задовольняє ознаку Дiнi–Лiпшiца.

Обидвi ознаки є найкращими у своєму родi. Для ознаки Дiнi–Лiпшiца можна побудувати функцiю з модулем неперервностi, що задовольняє ознаку з точнiстю асимптотичної оцiнки ${\displaystyle O}$ замість ${\displaystyle o}$, тобто

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1},}$

i ряд Фур’є функцiї ${\displaystyle f}$ розходиться. Для ознаки Дiнi, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функцiї ${\displaystyle \delta }$ такої, що

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

iснує така функцiя ${\displaystyle f}$, що

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta ),}$

i ряд Фур’є функцiї ${\displaystyle f}$ розходиться у точцi ${\displaystyle 0}$.

Справедлива також модифiкацiя ознаки Дiнi на випадок, коли функцiя ${\displaystyle f}$ має розрив у точцi ${\displaystyle t}$, але тим не менш, її звуження на промiжках ${\displaystyle (t-\varepsilon ,t)}$ та ${\displaystyle (t,t+\varepsilon )}$ можуть бути продовженими до функцiї, що задовольняють ознаку Дiнi.

Нехай ${\displaystyle f_{+}}$, ${\displaystyle f_{-}}$ — деякi числа. Покладемо для ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|,}$

${\displaystyle \omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|.}$

Якщо числа ${\displaystyle f_{+}}$, ${\displaystyle f_{-}}$ та функцiя ${\displaystyle f}$ такi, що

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\\&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\end{aligned}}}$

то ряд Фур’є функцiї ${\displaystyle f}$ у точцi ${\displaystyle t}$ збiгається до ${\displaystyle {\frac {f_{+}+f_{-}}{2}}}$.

Розглянемо перiодичне продовження функцiї ${\displaystyle x^{2}}$ з промiжку ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$:

${\displaystyle f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},}$

де фiгурнi дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цiєї функцiї в ряд Фур’є:

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx.}$

Пiдставляючи ${\displaystyle x=0}$ та ${\displaystyle x=\pi }$, i користуючись для обґрунтування точкової збiжностi вiдповiдно звичайною та модифiкованою ознакою Дiнi, отримаємо наступнi рiвностi:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

та

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

• Збiжнiсть ряду Фур’є
• Неперервнiсть Дiнi
• Критерiй Дiнi
• Ознака порiвняння
• Критерiй Кошi
• Радикальна ознака Кошi
• Iнтегральна ознака збiжностi
• Ознака Д’Аламбера
• Телескопiчна ознака
• Знакоперемiжний ряд
• Ознака Веєрштраса