Парність перестановки
Парність перестановки скінченної множини — це парність кількості інверсії цієї множини.
Множина перестановок розбивається на рівні підмножини: парних і непарних перестановок.
Транспозиції та інверсії
Відомо, що довільну перестановку можна утворити через послідовність транспозицій(обмінів) пар елементів.
І парність кількості транспозицій буде дорівнювати парності інверсій.
Доведення
- Транспозиція двох сусідніх елементів змінює кількість інверсій на
- Транспозиція двох довільних елементів зводиться до непарного числа транспозицій сусідніх елементів.
- Транспозиція — змінює кількість інверсій на непарне число.
- Оскільки тотожна перестановка має 0 транспозицій та 0 інверсій, то парність кількості транспозицій дорівнює парності кількості інверсій.
Підгрупа парних перестановок
- Тотожне перетворення є парною перестановкою.
- Добуток парних перестановок є парною перестановкою.
- Обернена перестановка до парної перестановки є парною.
Отже парні перестановки утворюють групу (називається знакозмінною групою), що є підгрупою симетричної групи (групи всіх перестановок множини).
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.