Перетворення Гільберта
Перетворення Гільберта — лінійне інтегральне перетворення, яке ставить у відповідність функції іншу функцію в тій самій області. Назване на честь Давида Гільберта, який сформулював його в свої роботах над задачею Рімана-Гільберта для голоморфних функцій. Використовується в галузі перетворень Фур'є та аналізу Фур'є. В обробці сигналів перетворення Гільберта перетворює дійсний сигнал на аналітичний.
Визначення
Для дійсних змінних x та y та для дійсних або комплексних функцій f та g перетворення Гільберта визначається як:
Обернене перетворення Гільберта визначається як:
Приклади перетворення Гільберта
Сигнал | Перетворення Гільберта |
---|---|
Функція sinc | |
Прямокутна функція | |
Дельта-функція Дірака | |
Характеристична функція |
Зв'язок з перетворенням Фур'є
Перетворення Фур'є перетворення Гільберта дорівнює:
де означає перетворення Фур'є, а sgn це Signum-функція.
Згідно з формулою Ейлера,
Отже H(u)(t) здійснює зсув фази компонент негативної частоти u(t) на +90° (π/2 радіан) та фази компонент позитивної частоти на −90°. При цьому i·H(u)(t) відновлює компоненти позитивної частоти та зсуває негативні на додаткові +90°, роблячи їх негативними.
Якщо перетворення Гільберта здійснюється двічі H(H(u)) = −u фаза компонентів негативної та позитивної частоти зсувається на +180° та −180°, відповідно. Сигнал стає негативним оскільки:
Див. також
Джерела
- Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.