Поворот Віка

Поворот Віка базується на наступному спостереженні: метрика Мінковського

${\displaystyle ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

після формальної заміни ${\displaystyle t=-i\tau }$, де ${\displaystyle \tau }$ — дійсна величина, зводиться до метрики чотиривімирного евклідового простору:

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Якщо математичну проблему можна розв'язати в термінах величин ${\displaystyle (\tau ,x,y,z)}$, обернене перетворення ${\displaystyle \tau =it}$ дає розв'язок відповідної задачі в просторі Мінковського.

Поворот Віка пов'язує між собою такі розділи теоретичної фізики, як статистична механіка та квантова механіка. Ключовим поняттям статистичної механіки є статистична сума:

${\displaystyle Z(T)=\sum _{n}\exp \left(-{\frac {H}{k_{B}T}}\right)}$

де ${\displaystyle H}$ — Гамільтоніан досліджуваної системи, ${\displaystyle T}$ — температура, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, а підсумовування відбувається за всіма мікроскопічними станами.

З іншого боку, часова залежність станів та фізичних величин у квантовій механіці визначається оператором еволюції:

${\displaystyle U(t)=\exp \left(-{\frac {iHt}{\hbar }}\right)}$

Можна побачити, що дві експоненти стають еквівалентними, якщо ототожнити ${\displaystyle {\frac {it}{\hbar }}={\frac {1}{k_{B}T}}}$. Така заміна дозволяє переходити від статистичних задач до квантовомеханічних та навпаки. Так, наприклад, інтеграл вздовж траєкторій після такої заміни тотожньо зводиться до статистичної суми.

Поворот Віка пов'язує задачі динаміки вимірності ${\displaystyle n-1}$ зі статичними задачами вимірності ${\displaystyle n}$, змінюючи час на додатковий просторовий вимір. Наприклад, для ${\displaystyle n=2}$ можна розглянути струну із закріпленими кінцями, що висить у гравітаційному полі. Форма струни ${\displaystyle y(x)}$ визначається екстремальністю енергії:

${\displaystyle E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(y(x))\right]dx,}$

де k — коефіцієнт пружності та V(y(x)) — потенціал гравітаційного поля.

Відповідна задача динаміки — це розрахунок траєкторії тіла, що кинули вгору ${\displaystyle y(t)}$. Як відомо з класичної механіки, рух тіла визначається принципом найменшої дії:

${\displaystyle S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(y(t))\right]dt}$

де ${\displaystyle m}$ — маса тіла.

Можна бачити, що розв'язок для струни ${\displaystyle y(x)}$ при ${\displaystyle x=it}$ дійсно задовільняє принципу найменшої дії (при ${\displaystyle k=m}$):

${\displaystyle \int \left[k\left({\frac {dy(x=it)}{d(it)}}\right)^{2}+V(y(x=it))\right]d(it)=i\int \left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(y(t))\right]dt=iS}$

• Wick, G. C. (1954). Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions. Physical Review 96 (4): 1124–1134. Bibcode:1954PhRv...96.1124W. doi:10.1103/PhysRev.96.1124.

• A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Euclidean Gravity — a short note by Ray Streater on the «Euclidean Gravity» programme.