Послідовний статистичний критерій
Послідовний статистичний критерій - послідовна статистична процедура, що використовується для перевірки статистичних гіпотез в послідовному аналізі.
Нехай спостереженню в статистичному експерименті доступна випадкова величина з невідомим (повністю або частково) розподілом (формально, в математичній нотації, , де імовірнісний простір забезпечений -алгеброю подій, , і вимірна відносно борелевої -алгебри).
Нехай перевіряється нульова гіпотеза проти альтернативи .
При кожному етапі статистичного експерименту, незалежно від інших етапів, спостерігається випадкова величина — копія , до тих пір поки , де — деяких (випадковий) момент зупинки. Послідовний статистичний критерій - це пара , де — будь-яка функція від , що приймає значення 0 або 1 (рішення, відповідно, на користь нульової або альтернативної гіпотези).
Цьому визначенню може бути наданий формальний сенс за допомогою поняття моменту зупинки відносно послідовності -алгебр , що породжені випадковими величинами , . Тоді вирішуюча функція повинна бути вимірною відносно -алгебри подій, що передують моменту : .
Функція потужності критерію в "точці" визначається як . Якщо , то називається ймовірністю похибки першого роду (ймовірність відкинути нульову гіпотезу, коли вона вірна). Якщо , то називається ймовірністю похибки другого роду (ймовірність приняти нульову гіпотезу, коли вона не вірна)
Рандомізовані послідовні критерії
Рандомізований послідовний критерій перевірки гіпотез може бути визначений як пара , де , , і , - (вимірні) функції, що приймають значення між 0 і 1, . На кожному етапі (якщо експеримент до нього дійшов) інтерпретується як ймовірність зупинитися на цьому етапі, без проведення подальших спостережень, а - як ймовірність відкинути нульову гіпотезу, якщо зупинка на цьому етапі відбулася.
називається рандомізованим правилом зупинки, а - рандомізованим правилом ухвалення рішення.
Якщо всі набувають тільки значень 0 (продовження спостережень) і 1 (зупинка), то правило зупинки визначає (нерандомізований) момент зупинки . Аналогічно, якщо всі набувають тільки значень 0 (прийняття нульової гіпотези) і 1 (відкидання нульової гіпотези), то правило ухвалення рішення визначає (нерандомізовану) вирішуючу функцію: , якщо .
Функція потужності критерію в "точці" визначається як , де - математичне сподівання відносно . Якщо , то - ймовірність похибки першого роду. Якщо , то ймовірність похибки другого роду рівна , де . Відповідно, середній об'єм вибірки при використанні правила зупинки визначається як , якщо (в іншому випадку ).
Посилання
- Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.(рос.)
- Ghosh, M., Mukhopadhyay, N., and Sen, P.K. Sequential Estimation, New York: Wiley, 1997.(англ.)