Борелівська сигма-алгебра

• Функція Бореля — відображення одного топологічного простору в інший (зазвичай обидва є просторами дійсних чисел, для якого прообраз будь-якої борелівської множини є борелівська множина).

• Всяка борелівська множина на відрізку є вимірною щодо міри Лебега, але зворотне невірно.

Розглянемо функцію ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(x+c(x))}$ на відрізку ${\displaystyle [0,\;1]}$, де ${\displaystyle c(x)}$ — функція Кантора. Міра образу множини Кантора рівна ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, а значить, міра образу її доповнення також рівна ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Функція ${\displaystyle f(x)}$ монотонна, значить, вона вимірна і існує обернена до неї функція. Оскільки міра образу канторової множини ненульова, в ній можна знайти невимірну множину ${\displaystyle A}$. Тоді образ ${\displaystyle A}$ при відображенні ${\displaystyle f^{-1}}$ буде вимірним (оскільки він лежить в канторовій множині, міра якої нульова), але не буде борелівською (оскільки інакше ${\displaystyle A}$ була б вимірною як прообраз борелівської множини при вимірному відображенні).

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)