Приклад Данжуа

Найпростіше зобразити приклад гомеоморфізму кола, число обертання якого ірраціональне, але який, тим не менш, не мінімальний. А саме, розглянемо поворот ${\displaystyle R}$ на деякий ірраціональний кут ${\displaystyle \alpha }$, і виберемо довільну початкову точку ${\displaystyle x_{0}}$. Розглянемо її орбіту ${\displaystyle x_{n}=R^{n}(x_{0})}$ при всіх цілих ${\displaystyle n}$, як додатних, так і від'ємних). Зробимо наступну перебудову: в кожній точці ${\displaystyle x_{n}}$ разріжемо коло і вклеїмо інтервал ${\displaystyle I_{n}}$ деякої довжини ${\displaystyle l_{n}>0}$, так, щоб сума довжин вклеєних інтервалів сходилася:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .}$

Тоді множина, яка утворилась після такої вклейки, як і раніше, буде колом, більш того, на ній буде природна міра Лебега (складається з міри Лебега на розрізаному старому колі і заходи Лебега на вклеєних інтервалах), тобто довжина — і, тим самим, гладка структура. Довільним чином продовживши відображення ${\displaystyle R}$ зі старого кола так, щоб воно переводило інтервал ${\displaystyle I_{n}}$ в інтервал ${\displaystyle I_{n+1}}$ — наприклад, вибравши в якості продовження афінне відображення ${\displaystyle I_{n}}$ в ${\displaystyle I_{n+1}}$, - ми отримуємо гомеоморфізм f нового кола з тим же числом обертання ${\displaystyle \alpha }$. Однак, у цього гомеоморфізму є канторова інваріантна множина ${\displaystyle K}$ (замикання множини точок старого кола), і тому вона не може бути спряженою з ірраціональним поворотом.

Вибравши послідовність довжин ${\displaystyle l_{n}}$ так, щоб послідовність відносин ${\displaystyle l_{n}/l_{n+1}}$ залишалася обмеженою при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, для продовження конструкції афінного перетворення можна домогтися ліпшицевості побудованого гомеоморфізму. Однак, щоб побудоване відображення було дифеоморфізмом, вибір продовження на відрізки ${\displaystyle I_{n}}$ слід зробити більш тонко.

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1}}$ будується так, щоб похідна побудованого дифеоморфізму ${\displaystyle f}$ на канторовій множині ${\displaystyle K}$ — замикання множини точок вихідного кола — дорівнювала б 1 (оскільки міра Лебега на цій множині зберігається побудованим дифеоморфізмом, це необхідна умова при такій конструкції). Тому, необхідно вибирати інтервали ${\displaystyle I_{n}}$ обмеження ${\displaystyle \varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}}$ так, щоб виконувалися наступні умови:

• (D1) Похідна ${\displaystyle \varphi _{n}}$ на кінцях інтервалу ${\displaystyle I_{n}}$ дорівнює 1.
• (D2) При ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, похідні відображень ${\displaystyle \varphi _{n}}$ рівномірно прямують до 1.

Остання умова необхідна, так як з ростом ${\displaystyle n}$ інтервали ${\displaystyle I_{n}}$ накопичуються до канторової множини ${\displaystyle K}$. Більше того, неважко бачити, що ці умови і достатні для того, щоб побудоване відображення ${\displaystyle f}$ було б ${\displaystyle C^{1}}$-дифеоморфізмом.

В силу теореми Лагранжа на відрізку ${\displaystyle I_{n}}$ знайдеться точка, похідна якої дорівнює ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$. Тому друга умова вимагає, щоб для послідовності ${\displaystyle l_{n}}$ мало місце

${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)}$

Як виявляється, це правило довжини для побудови ${\displaystyle C^{1}}$-дифеоморфізму є достатнім. А саме, відображення ${\displaystyle \varphi _{n}}$ вибираються наступним чином: на відрізках ${\displaystyle I_{n}}$ і ${\displaystyle I_{n+1}}$ вводяться координати, які ототожнюються з відрізками ${\displaystyle [-l_{n}/2,l_{n}/2]}$ і ${\displaystyle [-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]}$ відповідно, і відображення ${\displaystyle \varphi _{n}}$ вибирається як

${\displaystyle \varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)}$

де

${\displaystyle F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l}}.\qquad (***)}$

Нескладна викладка показує тоді, що похідна ${\displaystyle \varphi _{n}}$ в будь-якій точці відхиляється від 1 на не більше, ніж ${\displaystyle \mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|}$, тому умови (*) достатньо для виконання другої необхідної умови D2. З іншого боку, настільки ж нескладно бачити, що умова D1 також виконана (саме для цього тангенс у формулі (***) і множився на l: тоді швидкість відходу на нескінченність на кінцях це ${\displaystyle 1/x}$і не залежить від довжини інтервалу l — тому композиційне приватне стосується тотожного відображення).

Вибір будь-якої послідовності ${\displaystyle l_{n}}$ зі збіжної сумою — наприклад, ${\displaystyle l_{n}=1/(1+n^{2}),}$ — і завершує побудову.

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ представляється вже описаною вище конструкцією, але з більш тонкими умовами на довжини ${\displaystyle l_{n}}$. А саме, як легко бачити, побудований дифеоморфізм буде мати гельдерову похідну тоді і тільки тоді, коли похідні всіх обмежень ${\displaystyle \varphi _{n}}$ рівномірно по ${\displaystyle n}$ гельдерові. Дійсно, порівнюючи похідні в точках з різних відрізків, можна розбити цю різницю похідними в проміжних кінцевих точках (оскільки похідна в кінцевій точці завжди дорівнює 1), і скористатися нерівністю трикутника (в гіршому випадку, подвоївши константу Гельдера).

Оскільки на відрізку ${\displaystyle I_{n}}$ є точка з похідною ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$ (теорема Лагранжа) і є точка, похідна якої дорівнює 1 (це кінцева точка), константа Гельдера для показника Гельдера ${\displaystyle \varepsilon }$ не може бути меншою, ніж

${\displaystyle (|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)}$

Тому вираз (L) повинен бути обмеженим при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$. Як виявляється, це умова обмеженості і досить — явна викладка показує, що точна константа Гельдера обмеження ${\displaystyle \varphi _{n}}$ відрізняється від оцінки знизу (L) не більше, ніж в константу раз. Для завершення конструкції залишається представити двосторонньо-нескінченну послідовність ${\displaystyle l_{n}}$ з збіжної сумою, для якої вираз (L) залишається обмеженим. Прикладом такої послідовності є

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m}},\quad m=2+|n|,}$

яка підходить одночасно для всіх ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Відображення такої послідовності і завершує конструкцію — побудований дифеоморфізм належить класу ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ з будь-яким ${\displaystyle \varepsilon <1}$.