Принцип Мопертюї

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ використовують функцію Лагранжа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {E}}}$,

де ${\displaystyle \mathbf {q} }$ є узагальнена координата a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ є узагальнений імпульс.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}\mathrm {d} t-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})=\mathbf {S} _{0}-{\mathcal {E}}(t_{2}-t_{1})}$

де ${\displaystyle \mathbf {S} _{0}}$ означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ дає:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta {\mathcal {S}}_{0}-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})}$

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=-{\mathcal {E}}(\delta t_{2}-\delta t_{1})}$

тому варіація редукованої дії буде:

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{0}=\delta \int _{k}\mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} =0}$,

де ${\displaystyle k}$ є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху ${\displaystyle s}$, тобто ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (s)}$, тому узагальнений імпульс можна переписати як:

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)=\mathbf {p} \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}},\mathbf {q} \right)}$

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

${\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }}\right)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathbf {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)={\mathcal {E}}}$

Оскільки швидкість переміщення по шляху ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

${\displaystyle \delta \int {\mathcal {F}}\left(\mathbf {q} ,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} s}},{\mathcal {E}}\right)\mathrm {d} s=0}$

Таким чином, траєкторія руху системи ${\displaystyle \mathbf {q} (s)}$ залежить від повної енергії ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}=a_{ij}\left(q^{k}\right){\dot {q}}^{i}{\dot {q}}^{j}-V(q^{k})}$, тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\sqrt {2({\mathcal {E}}-V)a_{ik}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} q^{k}}{\mathrm {d} s}}}}}$

де ${\displaystyle V}$ i ${\displaystyle a_{ik}}$ залежні від ${\displaystyle q^{j}}$.

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Мопертюї у випадку однієї матеріальної частки:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{tot}-V(\mathbf {q} )}}}$

оскільки кінетична енергія ${\displaystyle T=E_{tot}-V(\mathbf {q} )}$ рівна постійній повній енергії ${\displaystyle E_{tot}}$ мінус потенціальній енергії ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$.

Принцип Мопертюї є частковий випадок загального принципу найменшої дії Гамільтона. На відміну від принципу Гамільтона тут використовується редукована дія і тому інтегрування здійснюється не по часу, а по узагальнених координатах. Наприклад, принцип Гамільтона визначає траєкторію ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$, як функцію часу, в той час як принцип Мопертюї визначає тільки форму траєкторії в узагальнених координатах.

Принцип Мопертюї вимагає щоб два кінцеві стани q1 та q2 були задані при одній і тій же енергії вздовж усієї траєкторії.

Навпаки, принцип Гамільтона не вимагає збереження енергії, проте вимагає щоб кінцеві точки часу t1 та t2 були специфіковані наряду з кінцевими просторовими точками q1 та q2.

• Принцип найменшої дії
• Принцип Ферма
• Механіка Гамільтона
• Механіка Лагранжа

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Теоретическая физика, т.1. М.: Госиздат, 1958.-206с.
• П'єр Луї Мопертюї, Accord de differentes loix de la nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (original 1744 French text); Accord between different laws of Nature that seemed incompatible (English translation)

• Ейлер Леонард, Methodus inveniendi/Additamentum II (original 1744 Latin text); Methodus inveniendi/Appendix 2 (English translation)

• П'єр Луї Мопертюї, Les loix du mouvement et du repos deduites d'un principe metaphysique (original 1746 French text); Derivation of the laws of motion and equilibrium from a metaphysical principle (English translation)

• Ейлер Леонард, Expose concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (original 1752 French text); Investigation of the letter of Leibniz (English translation)

• Konig JS. "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum, 1751, 125-135, 162-176.

• J.J. O'Connor and E.F. Robertson, "The Berlin Academy and forgery", (2003), at The MacTutor History of Mathematics archive.

• C.I. Gerhardt, (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel Konig in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veroffentlicht hat", Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, I, 419-427.

• W. Kabitz, (1913) "Uber eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. Konig in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veroffentlichten, seinerzeit fur unecht erklarten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, II, 632-638.

• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 362-371. ISBN 0-201-02918-9

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press, pp.140-143. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover)

• G.C.J. Jacobi, Vorlesungen uber Dynamik, gehalten an der Universitat Konigsberg im Wintersemester 1842-1843. A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlin. 290 pages, available online ?uvres completes volume 8 at Gallica-Math from the Gallica Bibliotheque nationale de France.

• H. Hertz, (1896) Principles of Mechanics, in Miscellaneous Papers, vol. III, Macmillan.