Дія (фізика)

Звичайно даний принцип еквівалентний законам Ньютона в класичній механіці, проте принцип дії краще підходить для узагальнень і відіграє важливу роль в сучасній фізиці. Дійсно, за допомогою даного принципу можна здійснити формулювання квантової механіки, що і було зроблено Річардом Фейнманом за допомогою інтегралів по траєкторіям. Останні базуються на принципі стаціонарної дії як класичної (тобто неквантової) межі. Використовуючи інтеграли по траєкторіям, рівняння Максвела можуть бути отриманими як умови стаціонарної дії.

Багато проблем в фізиці можуть бути представлені та розв'язані в формі принципу дії. Наприклад, світло знаходить найшвидший шлях через оптичну систему (принцип Ферма). Траєкторія руху тіла в полі тяжіння (тобто вільне падіння в просторі та часі, так звана геодезична) може бути знайдена шляхом використання принципу дії.

Симетрії в фізиці можна краще зрозуміти використовуючи принцип дії, разом з рівняннями Ейлера-Лагранжа, які отримані із принципу дії. Наприклад, теорема Нетер, яка стверджує, що кожній неперервній симетрії в фізичній ситуації відповідає певний закон збереження (вірне і обернене твердження). Цей глибокий зв'язок, проте вимагає визнання фундаментальності принципу дії.

В класичній механіці правильний вибір дії може бути виведений із законів руху Ньютона. І, навпаки, із принципу дії можна вивести рівняння руху у формі Ньютона, при правильному виборі дії. Таким чином, в класичній механіці принцип дії є еквівалентний рівнянням руху Ньютона. Використання принципу дії частіше швидше приводить до розв'язку задачі, ніж безпосереднє використання рівнянь Ньютона. Принцип дії — скалярна теорія, котра використовує елементарні обчислення з похідними.

Принцип найменшої дії був спершу сформульований Мопертюї в 1746 році і в подальшому розвивався Ейлером, Лагранжем та Гамільтоном.

Мопертюї прийшов до цього принципу із відчуття, що досконалість Всесвіту вимагає певної економії в Природі і суперечить будь-яким безкорисним витратам енергії. Природний рух повинен бути таким, щоб зробити деяку величину мінімальною. Необхідно тільки знайти цю величину, що він і продовжував робити протягом всього життя. Він вибрав як величину — добуток кінетичної енергії системи на тривалість (час).

Ейлер (в «Reflexions sur quelques loix generales de la nature», 1748) приймає принцип найменшої кількості руху, назвавши його «зусиллям». Його вираз відповідає тому, що ми сьогодні назвали б потенціальною енергією. Так що його твердження про найменшу кількість дії в статиці еквівалентне принципу, що система тіл в спокої приймає конфігурацію, котра мінімізує повну потенціальну енергію.

Рівняння руху Ньютона можна отримати багатьма способами, і тому механіка Н'ютона може бути аксіоматично сформульована по-різному. Один із способів — т.з. лагранжів формалізм, який також називають лагранжевою механікою. Якщо визначити траєкторію руху частки, як функцію часу t у вигляді x(t), зі швидкістю x′ (t), тоді функція Лагранжа — функція від цих величин і можливо, часу в явному вигляді:

${\displaystyle L[x(t),{\dot {x}}(t),t]}$

Дія S — інтеграл від лагранжіану по часу між заданою точкою x(t₁) в момент часу t₁ та заданою кінцевою точкою x(t₂) в момент часу t₂

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[x(t),{\dot {x}}(t),t]\,dt.}$

У лагранжевій механіці траєкторія об'єкта знаходиться за допомогою шляху, для якого інтеграл дії «S» є стаціонарним (мінімум або сідлова точка). Інтеграл дії — функціонал (функція, яка приймає значення на просторі функцій, в цьому разі «x» («t»)). Для системи з консервативними силами (сили, які можуть бути описані в термінах потенціалу, як гравітаційна сила, на відміну від сил тертя) вибір функції Лагранжа у вигляді: кінетична енергія мінус потенціальна енергія, приводить до правильних законів руху Ньютона (слід відзначити, що сума кінетичної та потенціальної енергій є повна енергія системи).

Стаціонарна точка інтегралу вздовж шляху еквівалентна диференційних рівнянь, названих рівняннями Ейлера-Лагранжа. Це можна показати наступним чином (розгляд одновимірного випадку). Узагальнення на баготовимірний випадок є тривіальним. Припустимо, що є інтеграл дії S з підінтегральною функцією L, який залежить від координат x(t) та їхніх похідних dx(t)/dt, по часу t:

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}})\,dt.}$

Розглянемо другу криву x₁(t), яка починається і закінчується в тих же точках, що і перша. Можна також припустити, що відстань між цими кривими є мала:

${\displaystyle \epsilon }$(t) = x₁(t) — x(t). В початковій та кінцевій точках ми маємо ${\displaystyle \epsilon }$(t₁) = ${\displaystyle \epsilon }$(t₂) = 0.

Різниця між інтегралами по шляху «1» та «2» буде рівна:

${\displaystyle \delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(x+\varepsilon ,{\dot {x}}+{\dot {\varepsilon }})-L(x,{\dot {x}})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}+{\dot {\varepsilon }}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,dt}$

де ми використовували розклад функції L до першого порядку включно по ${\displaystyle \epsilon }$ та ${\displaystyle \epsilon ^{'}}$. Тепер використовуючи інтегрування частинами для останнього виразу, а також використовуючи умову ${\displaystyle \epsilon _{1}}$(t₁) = ${\displaystyle \epsilon _{2}}$(t₂) = 0 знаходимо:

${\displaystyle \delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left(\varepsilon {\partial L \over \partial x}-\varepsilon {d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}\right)\,dt.}$

S досягає стаціонарної точки, тобто ${\displaystyle \delta }$S = 0 для кожного ${\displaystyle \epsilon }$. Слід відзначити, що точка може бути як мінімумом, так і сідловою, навіть максимумом, якщо підходити чисто формально.

${\displaystyle \delta }$S = 0 для кожного ${\displaystyle \epsilon }$ тільки тоді, коли

Тут була використана заміна x_a, a = 0,1,2,3 на x, оскільки це виконується для всіх координат.

Ця система рівнянь називається рівняннями Ейлера-Лагранжа для варіаційної задачі. Простий наслідок цих рівнянь тоді, L явно не залежить від x, тобто

якщо ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$, то ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}}$ константа.

Тоді координата x называється циклічною координатою, а ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}}$ называється спряженим імпульсом, який зберігається.

Наприклад, якщо L не залежить явно від часу, то відповідний інтеграл руху (спряжений імпульс) називається енергією. При використанні сферичних координат t, r, ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \phi }$ якщо L не залежить від ${\displaystyle \phi }$, спряжений імпульс, що зберігається- кутовий момент.

Для тих, хто знайомий з функціональним аналізом, рівняння спрощується до виду

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta x_{i}(t)}}=0}$.

Терміном редукована дія, котрий має позначення ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$, визначають дію, що в явній формі не залежить від часу:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} }$

де ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — узагальнений імпульс. Редукована дія використовується в природі тоді, коли траєкторія руху не залежить від часу.

Редукована дія використовується при формулюванні принципу Моперт'юї.

Тривіальні приклади допомагають зробити оцінку принципу дії через рівняння Ейлера-Лагранжа. Вільна частка (маса m і швидкість v) в Евклідовому просторі переміщується вздовж прямої лінії. Використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа, це можна показати в полярних координатах наступним чином. У відсутності потенціалу функція Лагранжа просто рівна кінетичній енергії

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$

в ортогональній системі координат (x, y).

В полярних координатах (r, ${\displaystyle \phi }$) кінетична енергія, і тому функція Лагранжа приймає вигляд:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$

Радіальна компонента r та ${\displaystyle \phi }$ рівнянь стають відповідно:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$

Розв'язок цих двох рівнянь

${\displaystyle r\cos \varphi =at+b}$

${\displaystyle r\sin \varphi =ct+d}$

ряд математичних констант «a, b, c, d» задається початковими умовами. Таким чином, дійсно, «розв'язок — пряма лінія», задана в полярних координатах.

Приведений вище формалізм, дійсний в класичній механіці в обмеженому сенсі. Ширше, дія — функціонал, який задає відображення із конфігураційного простору на множину реальних чисел і, в загальному випадку вона не обов'язково повинна бути інтегралом, оскільки можливі й нелокальні дії.

• Лагранжіан
• Принцип найменшої дії

Для бібліографії з аннотацією дивись Edwin F. Taylor Серед бібліографічного списку є такі книги:

1. Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7. Найцитованіше джерело в цій галузі.
2. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics (Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Починається з принципу найменшої дії.
3. Thomas A. Moore «Least-Action Principle» in Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-0286457-1, pages 840—842.
4. David Morin знакомит с уравнениями Лагранжа в главе 5 его книги. Включает 27 задач с решениями. Черновой вариант доступен
5. Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Начинается с принципа наименьшего действия, использует современные обозначения.
6. Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0.
7. Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2. Старая добротная книга, где формализм определяется до использования.
8. Stephen Wolfram, A New Kind of Science. May 2002. ISBN 1-57955-008-8.

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.

1. Edwin F. Taylor's страница
2. Історичні записи:
   1. Статті Гамільтона в форматах TeX, DVI, PDF, та PostScript доступні
   2. Статті Гамільтона, присвячені принципу дії, доступні за адресою