Промінь (геометрія)
Про́мінь (в геометрії), або півпряма́ — частина прямої, обмежена лише з однієї сторони, тобто промінь є частиною прямої, яка виходить із заданої точки й прямує до нескінченності в даному напрямку.[1]
Проведемо якусь лінію та позначимо на ній точку . Точка поділяє цю лінію на дві частини. Кожна з частин називається променем (або півпрямою), а точка називається початковою точкою. Вважається, що точка є частиною променя.[2] Промінь складається з точки й усіх точок, що знаходяться на цій прямій в одному напрямі до нескінченності. Але щоб використовувати це поняття в доказах, потрібне точніше означення.
Візьмемо відмінні точки та , що визначають певний промінь із початковою точкою . Цей промінь складається зі всіх точок між і (включно з та ) й усіх точок на цій самій лінії таким чином, що знаходиться між і .[3] Часом це також виражається як набір всіх точок таким чином, що не знаходиться між і .[4] Точка знаходиться на тій самій лінії, що й та , але не на промені від в напрямку . Таким чином утворюється промінь , який називається протилежним до .
Отже, можна сказати, що та визначають лінію і її поділ на два диз'юнктні об'єднання відкритого сегменту , , на два промені і (точка не зображена на діаграмі, але знаходиться зліва від ). Ці два промені вже не є протилежними, оскільки вони мають різні початкові точки.
Визначення променя ґрунтується на понятті проміжності для точок на лінії, а, отже, промені можуть існувати тільки в тих геометріях, де це поняття існує. Вони існують в евклідовій геометрії і афінній геометрії через впорядковане поле. Промені не існують в проєктивній геометрії та геометріях з невпорядкованими полями типу комплексних чисел або поля Галуа.
У топології промінь в просторі є образом відображення +. Він використовується для того, щоб визначити важливе поняття кінця простору.
Примітки
- Довідник з елементарної математики під редакцією П. Ф. Фільчакова. «Наукова думка», Київ.
- Часом ми можемо розглядати промінь без початкової точки, який називається відкритим, в даному випадку він є закритим.
- Wylie, Jr., 1964, pg. 59, Definition 3
- Pedoe, 1988, pg. 2
Бібліографія
- Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1748-1.
- Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Wylie, Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2