Впорядковане поле

Нехай ${\displaystyle F}$ — алгебраїчне поле, для його елементів визначено лінійний порядок ${\displaystyle \leqslant }$ (менше або дорівнює) і виконуються властивості:

1. Узгодженість із додаванням: якщо ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для будь-якогоz: ${\displaystyle ~x+z\leqslant y+z}$.
2. Узгодженість із множенням: якщо ${\displaystyle ~0\leqslant x}$ і ${\displaystyle ~0\leqslant y}$, то ${\displaystyle 0\leqslant xy}$.

Тоді поле ${\displaystyle F}$ із визначеним порядком ${\displaystyle \leqslant }$ називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються додатними, а менші нуля — від'ємними.

• Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо ${\displaystyle x}$ додатний, то ${\displaystyle -x}$ від'ємний, і навпаки.
• У будь-якому впорядкованому полі ${\displaystyle 1>0}$ і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
• Однотипні нерівності можна додавати:

Якщо ${\displaystyle x\leqslant y}$ і ${\displaystyle x'\leqslant y'}$, то ${\displaystyle ~x+x'\leqslant y+y'}$.

• Нерівності можна множити на додатні елементи:

Якщо ${\displaystyle x\leqslant y}$ і ${\displaystyle c\geqslant 0}$, то ${\displaystyle ~cx\leqslant cy}$.

• Характеристика упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому скінченне поле не може бути впорядкованим.
• Поле допускає впорядкування тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle -1}$ не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються формально дійсними полями. Зокрема ця властивість показує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим.
• Найменшим впорядкованим полем є поле раціональних чисел, яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто ізоморфне йому раціональне поле міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається архімедовим.

• Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
• Розширення E впорядкованого поля k називається впорядкованим, якщо E — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду ${\displaystyle \lambda x^{2},\,}$ де ${\displaystyle \lambda \in k,\,x\in E,\,0\leqslant \lambda .}$

Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k:

1. поле k є дійсно замкнутим,
2. розширення k(i), де i² = -1 є алгебраїчно замкнутим
3. кожен додатний елемент з k є квадратом і кожен многочлен непарного степеня над k має корінь у k.

Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане алгебраїчне розширення.

Якщо k — впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення фундаментальної послідовності. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля k. Якщо k — архімедове поле, то це розширення є ізоморфним полю дійсних чисел.

• Раціональні числа
• Дійсні числа
• Дійсні алгебраїчні числа
• Поле дійсних раціональних функцій: ${\displaystyle ~{\frac {p(x)}{q(x)}}\,}$, де ${\displaystyle ~p(x),q(x)}$ — многочлен и, ${\displaystyle ~q(x)\neq 0}$. Впорядкуємо його наступним чином.
  • Дійсні константи (як многочлени нульового порядку) впорядковані традиційним чином.
  • Нехай ${\displaystyle p(x)=p_{0}x^{n}+\dots }$, ${\displaystyle q(x)=q_{0}x^{m}+\dots \,}$ Будемо вважати, що дріб ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0\,}$, якщо ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0\,}$.
  • З визначення випливає, що многочлен ${\displaystyle p(x)=x}$ є більшим, ніж будь-яка константа, тобто аксіома Архімеда для цього поля не виконується, поле є архімедовим.
• Гіпердійсні числа — ще один приклад неархімедового поля.

• Аксіома Архімеда
• Впорядкована група

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.