Радикал Брінга

Форма без 4-го степеня та куба:

${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}$

називається первинною і може бути отримана квадратичним перетворенням Чірнхауса, що пов'язує корені загальної і первинної форм

${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

Можливо також занулити коефіцієнт при квадраті, це форма Брінга—Жерарда:

${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.\,}$

Кубічне перетворення Чірнхауса не допомагає, бо приводить до рівняння 6-го степеня.

Але в 1786 році Брінг знайшов перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}$

що приводить до системи 5 рівнянь з 6 невідомими, де потрібно розв'язувати кубічні і квадратні рівняння. Цей метод також був відкритий Джорджем Жерардом в 1832.

Таку систему краще розв'язувати в одній із систем комп'ютерної алгебри, оскільки запис розв'язку є незрівнянно довшим за розв'язок рівняння четвертого степеня.

Далі лінійною заміною змінної можна звести до форми від одного коефіцієнта:

${\displaystyle u^{5}-u+a=0\,,}$

яка використовується в методах розв'язку Ерміта—Кронекера—Брілші, Глассера, Коклі—Харлі з різними резольвентами.