Перетворення Чірнхауса

Перетворення Чірнхауса — перетворення многочлена з коренями в многочлен з коренями , де  — також многочлен. Коефіцієнти можуть бути виражені через коефіцієнти та .

Використовується для розв'язання рівнянь 3-го, 4-го степеня і спрощення загального вигляду рівнянь вищих степенів.

Лінійна заміна змінної

Використовуючи формулу бінома Ньютона, алгебричне рівняння

заміною можна позбавити від ненульового коефіцієнта при степені .

Так розв'язують квадратне рівняння та приводять кубічне рівняння до зведеної форми.

Рівняння степенів n > 2

В 1683 році німецький математик Еренфрід Вальтер фон Чірнхаус показав квадратичне перетворення:

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 2 від ненульових коефіцієнтів при , .

Рівняння степенів n > 4

Існує перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 4 від ненульових коефіцієнтів при , та .

Для n=5 цей результат був отриманий Брінгом в 1786, а для загального випадку Джерардом в 1834.

Після проведення ще однієї додаткової пропорційної заміни змінної, рівняння 5-го, 6-го і 7-го степенів зводились до виду:

,

від одного, двох і трьох параметрів відповідно.

Про розв'язок рівняння 7-го степеня, який є функцією трьох змінних йдеться в 13-ій проблемі Гільберта.

Узагальнення

Докладніше, нехай – поле, а – многочлен від . Якщо є незвідним, то фактор-кільце кільця многочленів на головний ідеал, породжений ,

,

є розширення поля . Ми маємо

де = modulo . Тобто будь-який елемент є многочленом від , таким чином, є первісним елементом . Інші варіанти первісного елемента в : для будь-якого такого вибору ми матимемо за визначенням:

,

з многочленами і над . Тепер, якщо є мінімальним многочленом для над , ми можемо назвати перетворенням Чірнхауса .

Тому множину всіх перетворень Чирнгауса незвідного многочлена слід описувати як множину всіх змін , що залишає нерухомим . Існує зв’язок із теорією Галуа, коли є розширенням Галуа . Тоді групу Галуа можна розглядати як усі перетворення Чирнгауса до самого себе.

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.