Розшарований добуток

Нехай в категорії ${\displaystyle C}$ дана пара морфізмів ${\displaystyle f:X\to Z}$ і ${\displaystyle g:Y\to Z.}$

Розшарованим добутком ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ над ${\displaystyle Z}$ називається об'єкт ${\displaystyle P=X\times _{Z}Y}$ разом з морфізмами ${\displaystyle p_{1},p_{2},}$ для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того, розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю: для будь-якого об'єкта ${\displaystyle Q,}$ з парою морфізмів ${\displaystyle q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,}$ які разом із ${\displaystyle (f,g)}$ утворюють комутативний квадрат, існує єдиний морфізм ${\displaystyle u\colon Q\to P,}$ такий що наведена нижче діаграма є комутативною:

Внутрішній квадрат цієї діаграми, утворений морфізмами ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2}}$ називається також декартовим (або коуніверсальним) квадратом для пари морфізмів ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g.}$

Як і інші об'єкти, задані за допомогою універсальних властивостей, розшарований добуток не обов'язково існує, але якщо існує, то є визначеним з точністю до ізоморфізму.

• В категорії множин розшарованим добутком множин ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ з відображеннями ${\displaystyle f:X\to Z}$ і ${\displaystyle g:Y\to Z}$ називається множина

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$

разом з природними проекціями на компоненти.

Також Розшарований добуток у ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ можна описувати двома асиметричними способами:

${\displaystyle X\times _{Z}Y}$

${\displaystyle \cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]}$

${\displaystyle \cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],}$

• Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою, що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець.

• Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток. Нехай є деяке відображення f : A → B і підмножина B₀ ⊆ B. Нехай g позначає відображення включення B₀ ↪ B. Тоді розшароване відображення f і g (у категорії Set) можна інтерпретувати, як прообраз f⁻¹[B₀] разом із його включенням у A

f⁻¹[B₀] ↪ A

і обмеженням відображення f на f⁻¹[B₀]

f⁻¹[B₀] → B₀.

• Якщо A і B є підмножинами множини C, то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B.

• У категорії із термінальним об'єктом T, розшарований добуток X ×_T Y є звичайним добутком X × Y.[1]
• Якщо f у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то p₂ теж є мономорфізмом. Також якщо g є мономорфізмом, то мономорфізмом є також і p₁.
• Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів, зокрема X ×_X Y ≅ Y для будь-якого морфізму Y → X (де X → X є одиничним морфізмом).
• У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра, а саме: якщо

є відповідною комутативною діаграмою і ker(p₂) → ker(f) є ізоморфізмом, то ізоморфізмом є ker(p₁) → ker(g). Звідси можна отримати комутативну діаграму, де всі рядки і стовпці є точними:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}}$

• Існує натуральний ізоморфізм (A×_CB)×_B D ≅ A×_CD. У явному вигляді:
  • якщо задано морфізми f : A → C, g : B → C і h : D → B і
  • розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r : P → A і s : P → B, і
  • розшарований добуток s і h є заданий морфізмами t : Q → P і u : Q → D ,
  • тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt : Q → A і u : Q → D.

Графічно це можна подати так: з двох комутативних діаграм розшарованих добутків, що розташовані поруч і мають спільний морфізм, утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку, якщо ігнорувати спільний морфізм. Приклад цього на комутативній діаграмі:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}}$

• Добуток (теорія категорій)

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.