Рівняння Баркера

Рівняння Баркера — рівняння, в неявному вигляді, що визначає залежність між положенням небесного тіла (істинною аномалією) і часом, під час руху параболічною орбітою[1]. Це рівняння широко застосовувалося під час вивчення орбіт комет[2], орбіти яких мають ексцентриситет близький до одиниці. Нині це рівняння знаходить застосування в астродинаміці[2]

Задача, що приводить до рівняння Баркера

Розв'язок задачі двох тіл дає рівняння траєкторії в полярних координатах у вигляді

де  — параметр орбіти;  — ексцентриситет орбіти;  — справжня аномалія-кут між радіус-вектором поточного положення тіла і напрямком на перицентр. З іншого боку, справедливий другий закон Кеплера

де  — константа площ. Виходячи з цих рівнянь легко отримати інтеграл, що зв'язує час і справжню аномалію в точках і орбіти.

До виведення рівняння Кеплера і рівняння Баркера

Спосіб обчислення цього інтеграла залежить від величини ексцентриситету (див. рівняння Кеплера). Для параболічної траєкторії , в цьому випадку приходимо до тривіального ланцюжка перетворень

Враховуючи, що параметр орбіти пов'язаний з константою площ

де  гравітаційний параметр центрального тіла, а константа площ, у разі параболічного руху

де  — відстань до перицентра;  — швидкість у перицентрі, яка під час руху по параболі є параболічною швидкістю. Тоді, отримуємо для параметра орбіти і приходимо до остаточного виразу

Тепер приймемо, що початкова точка траєкторії п ерицентр, значить і перетворимо отриману залежність до видгляу

де  середній рух небесного тіла. У підсумку, отримуємо кубічне рівняння вигляду

де ,  середня аномалія орбіти небесного тіла. Це рівняння називають рівнянням Баркера.

Рівняння описує неявну залежність істинної аномалії від часу під час руху небесного тіла параболічною траєкторією.

Розв'язок рівняння Баркера

Рівняння

є кубічним рівнянням, записаним у канонічній формі Кардано і має аналітичний розв'язок. Засобами комп'ютерної алгебри легко отримати цей розв'язок, що містить один дійсний і два комплексно-спряжених корені

де

Фізичному змісту задачі відповідає тільки дійсний корінь, тому можна записати

Маючи цей корінь, можна обчислити синус і косинус істинної аномалії

за якими, з урахуванням їхнього знака, визначається справжня аномалія

Див. також

Примітки

  1. Херрик, 1976, с. 86.
  2. Рой, 1981, с. 107.

Література

  1. С. Херрик. Астродинамика. Том 1. — М. : Мир, 1976. — С. 318.
  2. А. Рой. Движение по орбитам. — М. : Мир, 1981. — С. 544.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.