Рівняння Ейнштейна

Спробуємо вивести рівняння гравітації, яке б узгоджувалося з принципами загальної теорії відносності і в граничному випадку малих мас і малих швидкостей переходило в класичний закон Всесвітнього тяжіння Ньютона. Для виводу достатньо розглянути тільки статичну задачу, коли маси не рухаються і гравітаційне поле не змінюється з часом. В класичному випадку прискорення вільного падіння ${\displaystyle \mathbf {g} }$ до тяжіючого центру ${\displaystyle m}$ дається формулою обернених квадратів:

${\displaystyle (2)\qquad \mathbf {g} =-{Gm \over r^{2}}{\mathbf {r} \over r}}$

Ця сила виявляється консервативною, і аналогічно до електростатики ми можемо розглядати гравітаційний потенціал ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle (3)\qquad \phi =-{Gm \over r}}$

Прискорення вільного падіння дорівнює взятому зі знаком мінус градієнту потенціалу:

${\displaystyle (4)\qquad \mathbf {g} =-\nabla \phi }$

а із формули (3), повністю аналогічно до електростатики, одержуємо наступне рівняння Лапласа:

${\displaystyle (5)\qquad \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho }$

де ${\displaystyle \rho }$ - густина маси. Це рівняння класичної механіки ми візьмемо за основу і спробуємо знайти його релятивістський аналог.

При переході до загальної теорії відносності ми повинні замінити густину маси ${\displaystyle \rho }$ релятивістськи-інваріантною величиною. Такою величиною, до того ж приблизно пропорційною густині ${\displaystyle \rho }$, є тензор енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$. Оскільки маси нерухомі, то потоку енергії немає, і недіагональні елементи тезора ${\displaystyle T_{ij}}$ дорівнюють нулю. Також ми можемо знехтувати напруженнями всередині фізичного тіла у порівнянні з дуже великою щільністю енергії спокою ${\displaystyle W=\rho c^{2}}$. Таким чином, в нашому випадку в тензорі енергії-імпульса відмінна від нуля лише одна часова компонента:

${\displaystyle (6)\qquad (T_{ij})={\begin{bmatrix}\rho c^{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Цей тензор стоятиме (з деяким коефіцієнтом пропорційності) в правій частині шуканого рівняння - він породжує гравітацію. А що ми повинні написати в лівій частині, тобто що таке гравітація? Відповідь дав Ейнштейн, сформулювавши принцип еквівалентності - це викривлення чотиривимірного простору-часу. Сила тяжіння обчислюється за тією ж формулою, що й сили інерції в неінерційних системах координат:

${\displaystyle (7)\qquad F^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}}$

Відповідно коваріантна координата сили тяжіння в тривимірному просторі (знак мінус враховує псевдоевклідовість):

${\displaystyle (8)\qquad F_{i}=m\Gamma _{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}}$

У цій формулі похідна координат береться по власному часу ${\displaystyle \tau }$ матеріальної точки:

${\displaystyle {\dot {x}}^{j}={dx^{j} \over d\tau }}$

Ми візьмемо для вимірювання сили тяжіння нерухоме пробне тіло масою ${\displaystyle m}$. Вздовж світової лінії цього тіла змінюється лише нульова координата ${\displaystyle {\dot {x}}^{0}=c}$, тому:

${\displaystyle (9)\qquad g_{i}=c^{2}\Gamma _{00,i}={c^{2} \over 2}\left(\partial _{0}g_{i0}+\partial _{0}g_{0i}-\partial _{i}g_{00}\right)=-{\partial \over \partial x^{i}}\left({c^{2}g_{00} \over 2}\right)}$

Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора пов'язана з гравітаційним потенціалом:

${\displaystyle (10)\qquad \phi ={c^{2}g_{00} \over 2}+const}$

Константу інтегрування ми можемо знайти, знаючи що на нескінченності (великій відстані від тяжіючих тіл) нульова компонента метричного тензора дорівнює одиниці, а потенціал перетворюється в нуль згідно з формулою (3). Отже:

${\displaystyle (11)\qquad g_{00}=1+{2\phi \over c^{2}}}$

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні ${\displaystyle \partial ^{2}g_{ij} \over \partial x^{k}\partial x^{l}}$ самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не за тензорними правилами). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки відомо, що коваріантна похідна метричного тензора ${\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}}$ тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана):

${\displaystyle (12)\qquad R_{\;ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}}$

${\displaystyle (13)\qquad R_{pijk}={1 \over 2}\left({\partial ^{2}g_{ij} \over \partial x^{k}\partial x^{p}}+{\partial ^{2}g_{kp} \over \partial x^{i}\partial x^{j}}-{\partial ^{2}g_{ik} \over \partial x^{j}\partial x^{p}}-{\partial ^{2}g_{jp} \over \partial x^{i}\partial x^{k}}\right)+\Gamma _{ij}^{s}\Gamma _{kp,s}-\Gamma _{ik}^{s}\Gamma _{jp,s}}$

Ясно, що при малому викривленні простору-часу ми можемо вибрати близьку до декартової систему координат. В ній символи Крістофеля будуть близькими до нуля, тому відкинувши (два останні) квадратичні доданки в формулі (13) ми в правій частині матимемо суму других похідних від метричного тензора. В цій сумі також будуть присутні другі похідні від ${\displaystyle g_{00}}$, тобто від гравітаційного потенціалу (формула 11).

Тензор Рімана ${\displaystyle R_{pijk}}$ має чотири індекси, тому ми не можемо його безпосередньо прирівнювати до тензора енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$ з двома індексами. Зменшити кількість індексів можна, розглядаючи лінійні комбінації компонент тензора Рімана (12). Очевидно, ці лінійні комбінації теж містять суму інших похідних від гравітаційного потенціалу ${\displaystyle \phi }$ (так що залишається надія одержати аналог лівої частини формули (5)). Ми не будемо вводити нових фізичних величин, а скористаємося для коефіцієнтів цих лінійних комбінацій самим метричним тензором - тобто розглянемо згортки тензора Рімана. Однократна згортка тензора ${\displaystyle R_{\;ijk}^{s}}$ за індексами ${\displaystyle (sj)}$ дає тензор Річчі R_{ik}:

${\displaystyle (14)\qquad R_{ik}=R_{\;isk}^{s}}$

Цей тензор симетричний і має два індекси, як і в тензора енергії-імпульсу ${\displaystyle T_{ij}}$. Але окрім (14) ми можемо утворити ще один симетричний тензор, помноживши метричний тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ на скалярну кривину ${\displaystyle R}$, яка є згорткою тензора Річчі:

${\displaystyle (15)\qquad R=g^{ij}R_{ij}}$

Отже природними кандидатами на релятивістське узагальнення рівняння (5) є такі лінійні комбінації:

${\displaystyle (16)\qquad \alpha R_{ij}+\beta Rg_{ij}=kT_{ij}}$

де коефіцієнти ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,k)}$ є константами. Ці коефіцієнти можна уточнити, скориставшись локальним законом збереження енергії-імпульсу:

${\displaystyle (17)\qquad \nabla ^{j}T_{ij}=0}$

Отже дивергенція від лівої частини формули (16) повинна дорівнювати нулю. Якби тензор Рімана був зовсім довільним, то добитися нульової дивергенції ми не змогли б ні при яких ненульових константах ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. Але на щастя, як чисто математична властивість, коваріантні похідні тензора Рімана пов'язані диференціальною тотожністю Біанкі:

${\displaystyle (18)\qquad \nabla _{i}R_{jkpq}+\nabla _{j}R_{kipq}+\nabla _{k}R_{ijpq}=0}$

Згорнемо цю тотожність спочатку за індексами ${\displaystyle (k,q)}$, а потім за ${\displaystyle (j,p)}$:

${\displaystyle (19)\qquad \nabla _{i}R_{jp}-\nabla _{j}R_{ip}+\nabla ^{k}R_{ijpk}=0}$

${\displaystyle (20)\qquad \nabla _{i}R-\nabla _{j}R_{ij}-\nabla ^{k}R_{ik}=0}$

Із останньої рівності, перейменувавши індекс, за яким проходить згортка, ми можемо виразити дивергенцію тензора Річчі ${\displaystyle \nabla ^{j}R_{ij}}$ через градієнт скалярної кривини ${\displaystyle \nabla _{i}R}$:

${\displaystyle (21)\qquad \nabla ^{j}R_{ij}={1 \over 2}\nabla _{i}R}$

Тепер ми готові, щоб застосувати дивергенцію до рівняння (16):

${\displaystyle (22)\qquad \nabla ^{j}\left(\alpha R_{ij}+\beta Rg_{ij}\right)={\alpha \over 2}\nabla _{i}R+\beta \nabla _{i}R=\left({\alpha \over 2}+\beta \right)\nabla _{i}R=0}$

Ця рівність (закон збереження енергії-імпульсу) буде тотожно задовольнятися, якщо коефіцієнт ${\displaystyle \beta }$ дорівнює:

${\displaystyle (23)\qquad \beta =-{\alpha \over 2}}$

Ясно, що тепер коефіцієнт ${\displaystyle \alpha }$ не може дорівнювати нулю (інакше з врахуванням (23) і (16) тензор ${\displaystyle T_{ij}}$ був би тотожним нулем). Поділимо рівність (16) на ${\displaystyle \alpha }$ і перепозначимо поки що невідому константу ${\displaystyle k}$. В результаті приходимо до такого рівняння гравітації:

${\displaystyle (24)\qquad R_{ij}-{1 \over 2}Rg_{ij}=kT_{ij}}$

Нам залишилось знайти константу ${\displaystyle k}$. Для цього треба показати, що в наближенні слабкого поля, ліва частина рівняння (24) дорівнює з деяким коефіцієнтом лапласіану гравітаційного потенціалу ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi }$ і обчислити цей коефіцієнт. Це не зовсім тривіально, оскільки окрім часової компоненти ${\displaystyle g_{00}}$ метричного тензора (формула 11), решта компонент може також змінюватися. Деталі обчислення дивіться в статті Слабке гравітаційне поле.

Вираз в лівій частині рівняння (24) є тензором Ейнштейна другого степеня:

${\displaystyle (25)\qquad G_{ij}^{[2]}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}}$

який можна одержати варіацією інтеграла Ґаусса:

${\displaystyle (26)\qquad \delta \int K^{[2]}d\tau ={1 \over 2}\int G_{ij}^{[2]}\delta g^{ij}d\tau }$

при зміні метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ на малу величину ${\displaystyle \delta g_{ij}}$. Кривина Ґаусса другого степеня ${\displaystyle K^{[2]}}$ дорівнює половині скалярної кривини:

${\displaystyle (27)\qquad K^{[2]}=R/2}$

Оскільки для матерії (зокрема для електромагнітного поля) тензор енергії-імпульсу теж утворюється з лагранжіана подібним чином як коефіцієнт при варіації метрики, наприклад:

${\displaystyle (28)\qquad \delta \int Ld\tau =\int \left[{1 \over 2}T_{ij}\delta g^{ij}+\left({\partial L \over \partial \phi }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial L \over \partial {\partial \phi \over \partial x^{i}}}\right)\delta \phi \right]d\tau }$

то віднімаючи від (28) попередньо помножене рівняння (26) (з належним множником, оберненим до коефіцієнта в правій частині рівняння (1)) одержимо сукупний лагранжіан матерії та гравітаційного поля:

${\displaystyle (29)\qquad L_{\text{total}}=L-{c^{4} \over 16\pi G}R}$

при варіації якого одержується все: як рівняння Ейнштейна для гравітації, так і рівняння руху матерії:

${\displaystyle (30)\qquad \delta \int L_{\text{total}}d\tau =\int \left[{1 \over 2}\left(T_{ij}-{c^{4} \over 8\pi G}G_{ij}\right)\delta g^{ij}+\left({\partial L \over \partial \phi }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial L \over \partial {\partial \phi \over \partial x^{i}}}\right)\delta \phi \right]d\tau }$

Другий доданок в правій частині (29) є лагранжіаном гравітаційного поля:

${\displaystyle (31)\qquad L_{g}=-{c^{4} \over 16\pi G}R={c^{4} \over 8\pi G}\left(-K^{[2]}\right)}$

Варіаційний принцип зустрічається не тільки тут, але в усіх основних розділах фізики: класичній механіці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності. Така поширеність наводить на думку, що всі закони фізики пов'язані якимось (ще невідомим науці) одним універсальним рівнянням. Це рівняння може утворюватись варіацією "всезагальної дії" від деякого загального лагранжіана. Сам Альберт Ейнштейн займався пошуками цього рівняння, хоча без значних успіхів. Одним із результатів Ейнштейна є поправка із космологічною сталою.

Розглянемо замість виразу (31) будь-яку функцію від тензора Рімана та його коваріантних похідних, яка утворює скаляр за тензорними правилами. Наприклад:

${\displaystyle (32)\qquad L_{g}={c^{4} \over 8\pi G}\left(-{R \over 2}+\Lambda +a_{1}{\sqrt {R}}+a_{2}R^{2}+a_{3}(R_{j}^{i}R_{i}^{j})+\dots \right)}$

Тоді при варіації цього узагальненого лагранжіана ми одержимо Узагальнений тензор Ейнштейна. Він наслідує основні властивості тензора Ейнштейна (формула 25) другого степеня: симетричний, релятивістськи інваріантний, нульова дивергенція. Єдина умова на поправки в формулі (32): вони мають бути малими в масштабах ближнього космосу (тобто Сонячної системи), щоб виконувався закон тяжіння Ньютона. Але в інших масштабах вони можуть проявитися. Зокрема члени з ${\displaystyle \Lambda ,\;a_{1}}$ при великих масштабах - вселенських і галактичних. Квадратичні члени з ${\displaystyle a_{2},\;a_{3}}$ можуть проявитися в малих, зокрема мікроскопічних масштабах. Докладніше це описано в статті Поправки до рівняння Ейнштейна.

Рівняння Ейнштейна нелінійні і розв'язки можна знайти в дуже обмеженій кількості випадків. Найвідоміший розв'язок - метрика Шварцшильда для сферичного розподілу маси.

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1967). Теория поля. Теоретическая физика, т.2. Москва: Госиздат., 460 с.