Диференціювання складної функції

Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.

Якщо функція f має похідну в точці $x_{0}$ , а функція g має похідну в точці $y_{0}=f(x_{0})$ , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці $x_{0}$ .

Оператор \ Функція	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Диференціал	1: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Часткова похідна	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Повна похідна	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

Одновимірний випадок

Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій, $f:U(x_{0})\to V(y_{0}),$ де $y_{0}=f(x_{0}),$ і $g:V(y_{0})\to \mathbb {R}$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тоді їх композиція також диференційована: $h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),$ і її похідна має вигляд:

h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).

Зауваження

У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції $y=y(x),$ де $x=x(t),$ набуває такого вигляду:

{\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.

Інваріантність форми першого диференціала

Диференціал функції $z=g(y)$ в точці $y_{0}$ має вигляд:

dz=g'(y_{0})\,dy,

де $dy$ — диференціал тотожного відображення $y\to y$ :

dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .

Нехай тепер $y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}).$ Тоді $dy=f'(x_{0})\,dx$ , і згідно з ланцюговомим правилом:

dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.

Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.

Приклад

Нехай $h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}.$ Тоді функція $h$ може бути записана у вигляді композиції $h=g\circ f,$ де

f(x)=3x^{2}-5x,\;g(y)=y^{7}.

Диференціюємо ці функції окремо:

f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},

отримуємо

h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).

Багатовимірний випадок

Нехай дані функції $f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},$ де $y_{0}=f(x_{0}),$ і $g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}.$ Нехай також ці функції диференційовані: $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ і $g\in {\mathcal {D}}(y_{0}).$ Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд

dh(x_{0})=dg(y_{0})*df(x_{0}).

Зокрема, матриця Якобі функції $h$ є добутком матриць Якобі функцій $g$ і $f:$

{\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.

Наслідки

Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
$\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert .$

Для часткових похідних складної функції справедливо

${\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.$

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.