Скалярна проєкція

Якщо відомий кут ${\displaystyle \theta }$ між векторами ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, то скалярна проєкція ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на ${\displaystyle \mathbf {b} }$ може бути розрахована з використанням такого виразу

${\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta .}$

Якщо кут ${\displaystyle \theta }$ не відомий, косинус ${\displaystyle \theta }$ може бути розрахований через вектори ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$, використовуючи таку властивість скалярного добутку ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta \,}$

Згідно з цією властивістю, визначення скалярної проєкції ${\displaystyle s\,}$ буде виглядати таким чином:

${\displaystyle s=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}\,}$

Скалярна проєкція матиме негативний знак, якщо ${\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}$ градусів. Це збігається з відповідною векторною проєкцією евклідової норми, якщо кут менший за 90°. Більш конкретно, якщо векторна проєкція позначається як ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ а її довжина ${\displaystyle |\mathbf {a} _{1}|}$:

${\displaystyle s=|\mathbf {a} _{1}|,}$ якщо ${\displaystyle 0<\theta \leqslant 90}$ градусів,

${\displaystyle s=-|\mathbf {a} _{1}|,}$ якщо ${\displaystyle 90<\theta \leqslant 180}$ градусів.

• Скалярний добуток
• Векторний добуток
• Проєкція вектора