Слід (теорія полів)

Слід — відображення елементів скінченного розширення поля E / K у початкове поле K, визначуване таким чином:

Нехай Eскінченне розширення K степеня n=[E:K], α — деякий елемент з поля E. Він визначає лінійне відображення на E:x→αx. Цьому відображенню в деякому базисі e1,e2.en відповідає матриця A:

(αe1,αe2.αen)=(e1,e2.en)*A. Слід цієї матриці називається слідом елемента α. Оскільки для іншого базису даному відображенню відповідатиме подібна матриця A'=CAC-1 , то за елементарною теоремою лінійної алгебри слід не залежить від вибраного базису. Він позначається TrKE(α)

Властивості сліду

  • TrKE(α+β)=TrKE(α)+TrKE(β)
  • TrKE(cα)=cTrKE(cα) для елемента с, що належить полю K.
  • Якщо Есепарабельне, то TrKE — ненульовий функціонал, якщо несепарабельне, то TrKE=0.
  • Для полів К/E/F маємо: TrKE(TrEF(α))=TrKF(α) (транзитивність сліду)

Вираз сліду через гомоморфізми E над K

Нехай σ12,...,σm — всі гомоморфізми E в алгебраїчному замиканні поля K, що є гомоморфізмами над K, тобто залишають нерухомими всі елементи K. Якщо E сепарабельне то m рівне степеню [E:К]=n . Тоді для норми існує наступний вираз:

TrKE(a)=σ1(a)+σ2(a)+...+σn(a)

Якщо E несепарабельне то m≠n — степені [E:K], в цьому випадку n кратно m, причому частка є деяким степенем характеристики p: n=pim.

Тоді TrKE(a)=pi1(a)+σ2(a)+...+σm(a))=0

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.