Стаціонарний стан дисипативної системи

Стаціона́рний стан дисипати́вної систе́ми — стан відкритої нелінійної дисипативної системи, при якому швидкості зміни всіх процесів дорівнюють нулю.

Стаціонарні стани можуть бути стійкими чи нестійкими, залежно від поведінки системи при незначному відхиленні. Зміна кількості чи характеру стійкості стаціонарних точок залежно від параметру називається біфуркацією.

Математичне формулювання

Еволюція однорідної дисипативної системи задається в загальному випадку системою нелінійних диференціальних рівнянь

{\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})

,

де $x_{i}$ — динамічні змінні.

В багатьох випадках функції $f_{i}$ залежать від часу лише опосередковано, через динамічні змінні. Тоді система нелінійних рівнянь

f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})=0

визначає так звані стаціонарні точки, що описують стаціонарні стани дисипативної системи. Для стаціонарних точок

{\frac {dx_{i}}{dt}}=0

.

Дослідження на стійкість

Характер еволюції системи при малому відхиленні змінних системи від стаціонарних станів можна дослідити, аналізуючи лінеаризовану систему диференційних рівнянь в околі стаціонарної точки

{\frac {\delta x_{i}}{dt}}=\sum _{j}A_{ij}\delta x_{j}

,

де $\delta x_{i}$ — мале відхилення динамічної змінної від її значення в стаціонарній точці, а $A_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$ .

Шукаючи розв'язок даної лінійної системи диференціальних рівнянь у вигляді $\delta x_{i}=a_{i}e^{\lambda t}\,$ , визначається секулярне рівняння для параметру λ

{\text{det}}\,|\lambda I-A|=0

,

де I — одинична матриця.

Якщо всі корені цього рівняння мають від'ємну дійсну частину, то стаціонарна точка називається стійкою.
- Якщо при цьому всі корені рівняння дійсні, то стаціонарна точка називається стійким вузлом.
- Якщо серед коренів секулярного рівняння існує хоча б одна пара комплексних, то стаціонарна точка називається стійким фокусом.
Якщо хоча б один корінь секулярного рівняння має додатну дійсну частину, то стаціонарна точка називається нестійкою.
- Якщо при цьому всі корені дійсні, то стаціонарна точка називається нестійким вузлом.
- Якщо серед коренів є комплексні, то стаціонарна точка називається нестійким фокусом.

Такий аналіз стаціонарної точки називається аналізом на стійкість у сенсі Ляпунова.

Стаціонарний стан у кiнетицi (stеady state)

В залежностi вiд умов проведення реакцiї розрізняють два випадки.

а) У випадку складених реакцiй, якi включають високореактивнi iнтермедiати — стан, коли змiна концентрацiї кожного з них пiсля певного (звичайно короткого) часу дорiвнює нулю. Такий стан досягається, коли швидкiсть їх утворення зрiвнюється зi швидкiстю витрати, а їх концентрацiї практично не змiнюються з часом. Тодi рiвняння швидкостi записують лише як функцiю концентрацiй реагентiв, що знаходяться в

макроскопiчних кiлькостях (наближення стаціонарного стану не передбачає, що концентрації активних інтермедіатів повинні бути приблизно сталими, воно лише означає, що абсолютна швидкість їх перетворення є набагато меншою, ніж швидкості перетворення реагентів, які наявні в макрокількостях);

б) У проточному реакторi iдеального змiшування — стан при такому режимі ведення процесу (зокрема введення в систему реактантів), коли всi концентрацiї є незмiнними в часi.

Примітки

Література

Глосарій термінів з хімії / уклад. Й. Опейда, О. Швайка ; Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — Дон. : Вебер, 2008. — 738 с. — ISBN 978-966-335-206-0.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.