Тензорний добуток

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів і є лінійний простір, що позначається , для елементів і , їх тензорний добуток лежить у просторі .

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів

Скінченновимірні простори

Нехай і  — скінченновимірні векторні простори над полем ,  — базис в ,  — базис в . Тензорним добутком просторів і будемо називати векторний простір, породжений елементами , що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток довільних векторів можна визначати, вважаючи операцію білінійною:

При цьому тензорний добуток довільних векторів і виражається як лінійна комбінація базисних векторів . Елементи у , що представляються у вигляді , називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність

Тензорний добуток  — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору і білінійного відображення існує єдиний гомоморфізм такий, що

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в і , оскільки всі простори, які при цьому отримуються виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення може бути визначене як лінійне відображення , при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори і є канонічно ізоморфними.

Іншими словами, довільний функтор називається тензорним добутком. Нехай - категорія із тензорним добутком Умовою асоціативності для є ізоморфізм

Тому для будь-якої трійки об'єктів категорії є ізоморфізм

такий, що діаграма

є комутативною для морфізмів категорії .

Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Хопфа.

Часткові випадки

Тензорний добуток двох векторів

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):

.

Звідси слідує, що та

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекеровським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ. outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу)[1][2].

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів

Нехай ,  — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів визначається за правилом

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

  • Асоціативність
  • Комутативність
  • Лінійність
 — зовнішня сума лінійних просторів.

Тензорний добуток модулів над кільцем

Нехай  — модулі над деяким комутативним кільцем . Тензорним добутком цих модулів називається модуль над , даний разом з полілінійним відображенням що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля над і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів такий, що діаграма

є комутативною. Тензорний добуток позначається . Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль , твірними якого будуть n-ки елементів модулів де . Нехай  — підмодуль , що породжується такими елементами:

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль , клас позначається , і називається тензорним добутком елементів , a визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів , такий, що .

Насправді, оскільки вільний, то існує єдине відображення , що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що полілінійне, то на , звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що , буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи , що представляються у вигляді , називаються розкладними.

Якщо  — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів .

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай  — базис модуля . Побудуємо вільний модуль над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам , визначивши відображення і поширюючи його на по лінійності. Тоді є тензорним добутком, де є тензорним добутком елементів . Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

.

Див. також

Примітки

  1. Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (вид. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. Keller, Frank (23 лютого 2020). Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product. inf.ed.ac.uk. Процитовано 6 вересня 2020.

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.