Тензорний добуток
Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.
Тензорний добуток лінійних просторів і є лінійний простір, що позначається , для елементів і , їх тензорний добуток лежить у просторі .
Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.
Тензорний добуток векторних просторів
Скінченновимірні простори
Нехай і — скінченновимірні векторні простори над полем , — базис в , — базис в . Тензорним добутком просторів і будемо називати векторний простір, породжений елементами , що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток довільних векторів можна визначати, вважаючи операцію білінійною:
При цьому тензорний добуток довільних векторів і виражається як лінійна комбінація базисних векторів . Елементи у , що представляються у вигляді , називаються розкладними.
Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.
Функторіальність
Тензорний добуток — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь-якого іншого простору і білінійного відображення існує єдиний гомоморфізм такий, що
Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в і , оскільки всі простори, які при цьому отримуються виявляються канонічно ізоморфні.
Таким чином, довільне білінійне відображення може бути визначене як лінійне відображення , при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.
Простори і є канонічно ізоморфними.
Іншими словами, довільний функтор називається тензорним добутком. Нехай - категорія із тензорним добутком Умовою асоціативності для є ізоморфізм
Тому для будь-якої трійки об'єктів категорії є ізоморфізм
такий, що діаграма
є комутативною для морфізмів категорії .
Тензорні категорії аналогічні супералгебрам Хопфа.
Часткові випадки
Тензорний добуток двох векторів
(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:
або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):
- .
Звідси слідує, що та
Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку вектора-стовпця і вектора-рядка — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:
Оскільки тензорний добуток двох векторів є кронекеровським добутком і утворює вектор, його не слід плутати з зовнішнім добутком векторів (англ. outer product) , що називається також діадним і результатом якого є матриця (тензор другого рангу)[1][2].
Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.
Тензорний добуток операторів
Нехай , — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів визначається за правилом
Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд
то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці
Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.
Властивості
Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:
- Асоціативність
- Комутативність
- Лінійність
- — зовнішня сума лінійних просторів.
Тензорний добуток модулів над кільцем
Нехай — модулі над деяким комутативним кільцем . Тензорним добутком цих модулів називається модуль над , даний разом з полілінійним відображенням що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для будь-якого модуля над і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів такий, що діаграма
![](../I/Tensor_product1.gif)
є комутативною. Тензорний добуток позначається . Із універсальності тензорного добутку виходить, що він є визначеним з точністю до ізоморфізму.
Для доведення існування тензорного добутку будь-яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль , твірними якого будуть n-ки елементів модулів де . Нехай — підмодуль , що породжується такими елементами:
Тензорний добуток визначається як фактор-модуль , клас позначається , і називається тензорним добутком елементів , a визначається як відповідне індуковане відображення.
З 1) и 2) слідує що відображення полілінійне. Доведемо, що для будь-якого модулю і будь-якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів , такий, що .
Насправді, оскільки вільний, то існує єдине відображення , що робить діаграму
![](../I/Tensor_product2.gif)
комутативною, а в силу того, що полілінійне, то на , звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що , буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.
Елементи , що представляються у вигляді , називаються розкладними.
Якщо — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню
що відповідає по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів .
Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай — базис модуля . Побудуємо вільний модуль над нашим кільцем, що має як базис елементи, які відповідають n-кам , визначивши відображення і поширюючи його на по лінійності. Тоді є тензорним добутком, де є тензорним добутком елементів . Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то
- .
Див. також
Примітки
- Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (вид. 4th). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- Keller, Frank (23 лютого 2020). Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product. inf.ed.ac.uk. Процитовано 6 вересня 2020.
Література
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)