Тензорне розшарування

Тензорне розшарування типу на диференційовному многовиді — це векторне розшарування над , асоційоване з розшаруванням дотичних реперів і таке що має як стандартний шар простір тензорів типу на , в якому група діє за допомогою тензорного представлення. Наприклад, збігається з дотичним розшаруванням над , a — з кодотичним розшаруванням .

У загальному випадку тензорне розшарування ізоморфно тензорному добутку дотичних і кодотичних розшарувань:

Самі розшарування є лише основою для побудови перетинів тензорних розшарувань типу , які називаються тензорними полями типу і є основним об'єктом дослідження диференціальної геометрії. Так, наприклад, ріманова структура на — це гладкий перетин розшарування , значення якого є позитивно визначеними симетричними формами.

Гладкі перетини розшарування утворюють модуль над алгеброю гладких функцій на . Якщо паракомпактний многовид, то

де  — модуль гладких векторних полів, - модуль пфаффових диференціальних форм, а тензорні добутки беруться над .

У класичній диференціальній геометрії тензорні поля іноді називають просто тензорами на .

Література

  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
  • Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика) — ISBN 5-88688-076-3..
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.