Тензорне розшарування

Тензорне розшарування типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ на диференційовному многовиді ${\displaystyle M}$ — це векторне розшарування ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ над ${\displaystyle M}$, асоційоване з розшаруванням дотичних реперів і таке що має як стандартний шар простір ${\displaystyle T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})}$ тензорів типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, в якому група ${\displaystyle GL(n,\;\mathbb {R} )}$ діє за допомогою тензорного представлення. Наприклад, ${\displaystyle T^{1,\;0}(M)}$ збігається з дотичним розшаруванням ${\displaystyle T(M)}$ над ${\displaystyle M}$, a ${\displaystyle T^{0,\;1}(M)}$ — з кодотичним розшаруванням ${\displaystyle T(M)^{*}}$.

У загальному випадку тензорне розшарування ізоморфно тензорному добутку дотичних і кодотичних розшарувань:

${\displaystyle T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,T(M)^{*}}$

Самі розшарування є лише основою для побудови перетинів тензорних розшарувань типу ${\displaystyle (p,\;q)}$, які називаються тензорними полями типу ${\displaystyle (p,\;q)}$ і є основним об'єктом дослідження диференціальної геометрії. Так, наприклад, ріманова структура на ${\displaystyle M}$ — це гладкий перетин розшарування ${\displaystyle T^{0,\;2}(M)}$, значення якого є позитивно визначеними симетричними формами.

Гладкі перетини розшарування ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ утворюють модуль ${\displaystyle D^{p,\;q}(M)}$ над алгеброю ${\displaystyle F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)}$ гладких функцій на ${\displaystyle M}$. Якщо ${\displaystyle M}$ — паракомпактний многовид, то

${\displaystyle D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},}$

де ${\displaystyle D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)}$ — модуль гладких векторних полів, ${\displaystyle D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)}$ - модуль пфаффових диференціальних форм, а тензорні добутки беруться над ${\displaystyle F^{\infty }(M)}$.

У класичній диференціальній геометрії тензорні поля іноді називають просто тензорами на ${\displaystyle M}$.