Тензорний аналіз

Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів ${\displaystyle D(M)}$, що диференціюється ${\displaystyle M}$. Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри ${\displaystyle D(M)}$.

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля ${\displaystyle X}$ — лінійне відображення ${\displaystyle \nabla _{X}}$ простору векторних полів ${\displaystyle D^{1}(M)}$ від ${\displaystyle M}$, залежне від векторного поля ${\displaystyle X}$ і яке задовольняє умовам:

${\displaystyle \nabla _{f}X+{}_{gV}Z=f\nabla _{X}Z,}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,}$

де ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z\in D'(M)}$, ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ — гладкі функції на ${\displaystyle M}$. Зв'язність ${\displaystyle \Gamma }$ і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри ${\displaystyle D(M)}$ в себе; при цьому відображення ${\displaystyle \nabla X}$ є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах ${\displaystyle u^{1},u^{2}\ldots ,u^{n}}$ коваріантна похідна тензора з компонентами ${\displaystyle T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})}$ щодо вектора ${\displaystyle X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}}$ визначається так:

${\displaystyle \nabla _{X}T=\xi ^{s}({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}),}$

${\displaystyle \Gamma _{ks}^{i}}$ — об'єкт зв'язності ${\displaystyle \Gamma }$.

2) Похідна Лі уздовж векторного поля ${\displaystyle X}$ — відображення ${\displaystyle L_{X}}$ простору ${\displaystyle D'(M)}$, що визначене формулою ${\displaystyle L_{X}~:~Y\rightarrow [X,~Y]}$, де ${\displaystyle [X,~Y]}$ — комутатор векторних полів ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$. Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання ${\displaystyle D(M)}$, зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора ${\displaystyle T(T_{j_{1}\ldots {j_{m}}}^{i_{1}\ldots {i_{l}}})}$ виражається так:

${\displaystyle \nabla _{X}T=\xi ^{s}({\frac {\partial T_{j_{1}\ldots m}^{i_{1}\ldots i_{l}}}{\partial u^{s}}}+\Gamma _{k_{s}}^{i_{1}}T_{j_{1}\ldots j_{m}}^{k\ldots i_{l}}+\ldots -\Gamma _{j_{i,s}}^{k}T_{k\ldots j_{m}}^{i_{1}\ldots i_{l}}),}$

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор ${\displaystyle d}$, що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня ${\displaystyle p}$ форму такого ж вигляду і степеня ${\displaystyle p+1}$, котра задовольняє умовам:

${\displaystyle d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},~~~~d(d\omega )=0,}$

де ${\displaystyle \wedge }$ — символ зовнішнього добутку ${\displaystyle r}$ — ступінь ${\displaystyle \omega _{1}}$. В локальних координатах зовнішня похідна тензора ${\displaystyle \omega \langle \omega _{i_{1}\ldots i_{p}}\rangle }$ виражається так:

${\displaystyle d\omega =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{i_{1}\ldots {\hat {i}}_{k}\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_{k}}}}.}$

Оператор ${\displaystyle d}$ — узагальнення оператора ${\displaystyle \operatorname {rot} }$.

4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора ${\displaystyle g_{if}}$ є дією деякого нелінійного оператора ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle g_{if}\rightarrow R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s}}{\partial u^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^{p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}),}$

де

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{s}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}).}$